Еднаквости - осева симетрия

[simona_ovcharova]

Даден е $\angle POQ$ с ъглополовяща $OL$. Върху раменете му $OP$ и $OQ$ са избрани съответно точки $A$ и $B$ така, че $OA < OB$. През точка $A$ е построена права $a$, перпендикулярна на $OP$ и $a$ пресича $OL$ в точка $C$. През точка $B$ е построена права $b$, перпендикулярна на $OQ$ и $b$ пресича $OL$ в точка $D$. Точката $A_1$ е образ на точката $A$ при осевата симетрия $\sigma_{OL}$, точка $M$ е среда на отсечката $CD$ и точка $N$ е среда на отсечката $A_1B$. Докажете, че:
а) $CA_1 \perp OQ$;
б) точките $B$ и $A_1$ са симетрични относно правата $MN$;
в) $MB = MA$.

geogebra-export.png (266.28 KiB) Прегледано 1405 пъти

Имам известни проблеми с тези преобразувания, но се надявам, че с времето ще свикна. Както се вижда от точния чертеж, точката $A_1$ лежи на $OQ$, но отново не знам как да го докажа. Нещата, които виждам са следните:
$\begin{cases} \sigma_{OL}: O \to O \\ \sigma_{OL}: C \to C \\ \sigma_{OL}: A \to A_1 \end{cases} \implies OA = OA_1, CA = CA_1$

[Knowledge Greedy]

а) От първите две наблюдения и изводи, които сама сте направила, и факта [tex]OC[/tex] - обща за триъгълниците [tex]\triangle OCA_1[/tex] и [tex]\triangle OCA[/tex], следва че те са еднакви. Но тъй като единият от тях е правоъгълен, то и другият е такъв. Т.е. [tex]\angle OA_1C = 90^\circ[/tex], респективно [tex]CA_1 \bot OA_1(Q)[/tex]

(– Същият извод може да бъде направен и директно - като следствие от свойството на осевата симетрия - че е еднаквост и запазва ъглите, в случая образът на [tex]\angle OAC=90^\circ[/tex] е [tex]\angle OA_1C[/tex], който трябва също да е прав.)

б) [tex]M[/tex] е среда на [tex]CD[/tex]; [tex]N[/tex] е среда на [tex]A_1B[/tex]
Отсечката [tex]MN[/tex] наричаме средна основа на трапеца и тя притежава свойството на двете основи - да сключва съответно равни ъгли със съответните бедра. Понеже [tex]BD\bot OQ (A_1B)[/tex], следователно [tex]MN\bot A_1B[/tex]
Оттук точките [tex]B[/tex] и [tex]A_1[/tex] са симетрични относно правата MN;

в) Когато една права [tex](MN)[/tex] е перпендикулярна на дадена отсечка ([tex]A_1B[/tex]) и минава през нейната среда ([tex]N[/tex]),
казваме, че тази права е симетрала на отсечката. Тя е ос на симетрия на отсечката!
Всяка от точките на симетралата (включително точката [tex]M[/tex]) притежава свойството да е на равни разстояния от краищата на отсечката.
Следователно [tex]MA_1=MB[/tex]
Но точката [tex]M[/tex] е точка и от симетралата на [tex]AA_1[/tex] - правата [tex]OL[/tex], следователно [tex]MA_1=MA[/tex].
Следва т.к.т.д. - т.е. [tex]MB=MA[/tex]

[simona_ovcharova]

а) От първите две наблюдения и изводи, които сама сте направила, и факта [tex]OC[/tex] - обща за триъгълниците [tex]\triangle OCA_1[/tex] и [tex]\triangle OCA[/tex], следва че те са еднакви. Но тъй като единият от тях е правоъгълен, то и другият е такъв. Т.е. [tex]\angle OA_1C = 90^\circ[/tex], респективно [tex]CA_1 \bot OA_1(Q)[/tex]

(– Същият извод може да бъде направен и директно - като следствие от свойството на осевата симетрия - че е еднаквост и запазва ъглите, в случая образът на [tex]\angle OAC=90^\circ[/tex] е [tex]\angle OA_1C[/tex], който трябва също да е прав.)

б) [tex]M[/tex] е среда на [tex]CD[/tex]; [tex]N[/tex] е среда на [tex]A_1B[/tex]
Отсечката [tex]MN[/tex] наричаме средна основа на трапеца и тя притежава свойството на двете основи - да сключва съответно равни ъгли със съответните бедра. Понеже [tex]BD\bot OQ (A_1B)[/tex], следователно [tex]MN\bot A_1B[/tex]
Оттук точките [tex]B[/tex] и [tex]A_1[/tex] са симетрични относно правата MN;

в) Когато една права [tex](MN)[/tex] е перпендикулярна на дадена отсечка ([tex]A_1B[/tex]) и минава през нейната среда ([tex]N[/tex]),
казваме, че тази права е симетрала на отсечката. Тя е ос на симетрия на отсечката!
Всяка от точките на симетралата (включително точката [tex]M[/tex]) притежава свойството да е на равни разстояния от краищата на отсечката.
Следователно [tex]MA_1=MB[/tex]
Но точката [tex]M[/tex] е точка и от симетралата на [tex]AA_1[/tex] - правата [tex]OL[/tex], следователно [tex]MA_1=MA[/tex].
Следва т.к.т.д. - т.е. [tex]MB=MA[/tex]

Благодаря много! Казвам обновения чертеж, ако някой има проблеми с подобна задача (правих отсечките с Paint, защото загубих GeoGebra файла)

geogebra-export.png (162.4 KiB) Прегледано 1359 пъти