Квадратен корен в множеството на рационалните числа

[simona_ovcharova]

Да се намери нормалната дроб $f (x)$, тъждествена на израза $(\frac {x-1}{x^2-4} + \frac{x}{x+2}).(x-2) + \frac{x+1}{x+2}, x \ne \pm 2$ и да се реши уравнението $f(x)=x+1$. Да се намери числото $A=\sqrt{(1 + x_1).\frac{1}{3}}$, където $x_1$ е коренът на уравнението.

Отг. $f(x)=\frac{x^2}{x+2}$; $x_1=-\frac{2}{3}$; $A=\frac {1}{3}$.

Здравейте,

не сме изучавали функции, а доколкото знам с $f$ се обозначава функция, а би трябвало да мога да реша тази задача поради това, че се намира в сборник за 8 клас. Може ли някой да ми помогне с решението и с описанието на задачата? Благодаря предварително!

Това, което успях, е да опростя израза, който е тъждествен на $f(x)$, доколкото разбирам $:\frac{x^2}{x+2}$. Как трябва да запиша решението?

[Добромир Глухаров]

$f(x)=x+1\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+2}=x+1\Leftrightarrow x^2=x^2+3x+2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\in\mathbb{R}\backslash\{-2;2\}$

$A=\sqrt{(1+x_1)\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{(1-\frac{2}{3})\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$

[simona_ovcharova]

$f(x)=x+1\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+2}=x+1\Leftrightarrow x^2=x^2+3x+2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\in\mathbb{R}\backslash\{-2;2\}$

$A=\sqrt{(1+x_1)\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{(1-\frac{2}{3})\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$

Здравей!

Благодаря за отговора! Не съм сигурна, че разбирам записа $f(x)=x+1$. Как трябва да запиша опростяването? С $f(x)=...$ или не?

[Добромир Глухаров]

Най-напред опростяваш израза за $f(x)=\left(\frac{x-1}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}\right).(x-2)+\frac{x+1}{x+2}$, докато получиш $f(x)=\frac{x^2}{x+2}$. После приравняваш така получения израз за $f(x)$ на $x+1$, за да намериш стойностите на $x$, за които $f(x)=x+1$. Получава се, че е изпълнено за една единствена стойност $x=-\frac{2}{3}$

[Добромир Глухаров]

Ето ги графиките на двете функции:

Квадратен корен.png (35 KiB) Прегледано 646 пъти

Вижда се, че единствената пресечна точка е за $x=-\frac{2}{3}$. Тогава $f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{\frac{4}{9}}{-\frac{2}{3}+2}=\frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{3}$ и $g\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$ - равни стойности на функциите при едно и също $x$.

[simona_ovcharova]

Най-напред опростяваш израза за $f(x)=\left(\frac{x-1}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}\right).(x-2)+\frac{x+1}{x+2}$, докато получиш $f(x)=\frac{x^2}{x+2}$. После приравняваш така получения израз за $f(x)$ на $x+1$, за да намериш стойностите на $x$, за които $f(x)=x+1$. Получава се, че е изпълнено за една единствена стойност $x=-\frac{2}{3}$

Благодаря! Разбрах какво се изисква от мен. С коя програма мога да си изчертая графиките, както вие сте ги изчертали, защото не виждам коя пресечна точка трябва да гледам? Четох някакви неща в Уикипедия и доколкото разбирам функцията съпоставя на всяко $x$, $\frac{x^2}{x+2}$. Защо в условието е казано 'нормалната дроб'?

П.П. Успях да ги начертая с GeoGebra, но не разбирам коя пресечна точка гледам. Ако е на двете функции, вижте какво ми се получава:

Screenshot_28.png (81.78 KiB) Прегледано 643 пъти

[Добромир Глухаров]

С коя програма мога да си изчертая графиките... Защо в условието е казано 'нормалната дроб'?

Аз си служа с програмата CaRMetal, но тук, на този сайт има GeoGebra - казват, че е по-добра.

В аритметиката, мисля, нормална дроб е на която числителят е по-малък от знаменателя. В алгебрата може би имат предвид да е една дроб, с числител и знаменател полиноми, записани в нормална форма - степените на $x$ подредени по големина.

[Добромир Глухаров]

П.П. Успях да ги начертая с GeoGebra, но не разбирам коя пресечна точка гледам. Ако е на двете функции, вижте какво ми се получава:

Screenshot_28.png

Ами да - черната точка е единствената точка на пресичане - с координати $\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$

[simona_ovcharova]

П.П. Успях да ги начертая с GeoGebra, но не разбирам коя пресечна точка гледам. Ако е на двете функции, вижте какво ми се получава:

Screenshot_28.png

Ами да - черната точка е единствената точка на пресичане - с координати $\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$

Значи гледаме само едната координата?

[Добромир Глухаров]

$A(x_A;y_A)$ означава точка $A$ с координати - абсциса $x_A$ и ордината $y_A$. Когато решаваме уравнението $f(x)=g(x)$, търсим $x_A$. Съответно ще получим $y_A=f(x_A)=g(x_A)$

Графиката на $f(x)$ е множество точки $M(x_M;f(x_M))$. Графиката на $g(x)$ е множество точки $N(x_N;g(x_N))$. Общите точки на двете графики са $\{S(x_S;f(x_S))\}=\{S(x_S;g(x_S))\}=M\cap N$ и за тях $f(x_S)=g(x_S)$