Квадратно уравнение в множеството на реалните числа

[simona_ovcharova]

Здравейте, имам проблем със следната задача:

За кои стойности на реалния параметър $k$ единият корен на уравнението: $$x^2-15x+k^2-10=0$$ е с 3 по-голям от другия?

Първо пресмятам $D=b^2-4ac=(-15)^2-4(k^2-10)=15^2-4k^2+40=225-4k^2+40=265-4k^2$. Не знам дали е необходимо, но мисля, че трябва да имаме $D>0$ (не може да е равно, защото когато дискриминантата е равна на нула, уравнението има два равни корена, което на нас не ни трябва). Оттук получавам $k^2<\dfrac{265}{4}$ и не знам как и дали може да се опрости. След това опитах с формули на Виет, но резултатът изглежда безполезен. Някой може ли да ми каже какво трябва да направя след пресмятането и определянето на ограниченията на дискриминантата?

Благодаря предварително!

[Sup3rlum]

Правилно си започнала. Ако разгледаме пълната формула за квадратното:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$

Ако искаме единия корен да е с 3 повече от другия, имаме следното:

$\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}+3=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

Умножаваме по $2a$:

$-b-\sqrt{D}+6a=-b+\sqrt{D}$

Почистваме:

$6a=2\sqrt{D}$
$3a=\sqrt{D}$

Сега знаем, че за нашето уравнение, $a=1$ а $D=265-4k^2$, Заместваме за да намерим $k$:

$3=\sqrt{265-4k^2}$
$265-4k^2=9$
$4k^2=256$
$k^2=64$
$k=\pm8$

[Евва]

Дадено: [tex]x_{2 }[/tex]-[tex]x_{1 }[/tex]=3 (1)
к=?

Вдигни (1) на втора степен .
Преобразувай лявата страна така,че да получиш само [tex]x_{1 }[/tex]+[tex]x_{2 }[/tex] и [tex]x_{1 }[/tex][tex]x_{2 }[/tex]
Сега може да приложиш Виет.
Получих к=[tex]\pm[/tex]8 ,[tex]x_{1 }[/tex]=9 ,[tex]x_{2 }[/tex]=6

[S.B.]

Здравейте, имам проблем със следната задача:

За кои стойности на реалния параметър $k$ единият корен на уравнението: $$x^2-15x+k^2-10=0$$ е с 3 по-голям от другия?

[tex]x^{2} - 15x + k^{2} - 10 = 0 , D = 265 - 4k^{2} > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{265})^{2} - (2k)^{2} > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{265} + 2k)(\sqrt{265} - 2k) > 0 \Rightarrow[/tex]
[tex]k \in ( -\frac{\sqrt{265}}{2} ; \frac{\sqrt{265}}{2})[/tex] или приблизително Д.М. $ k \in ( - 8,14 ; 8,14)$
Правилно сте се ориентирали към формулите на Виет:
Щом има 2 корена $x_{1 } ,x_{2 }$ и $x_{2 } = x_{1 } + 3$, то по формулите на Виет
$ x_{1 } + x_{2 } = - \frac{b}{a }\Rightarrow 2x_{1 } + 3 = 15 \Rightarrow x_{1 } = 6 , x_{2 } = 9$
Пак по формулите на Виет :
$x_{1 }.x_{2 } = \frac{c}{a} \Rightarrow 6.9 = k^{2} - 10 \Leftrightarrow k^{2} = 64 \Leftrightarrow (k + 8)(k - 8) = 0 \Rightarrow k_{1 } = - 8 , k_{2 } = 8$
$ k_{1 } , k_{2 } \in $ Д.М.

[simona_ovcharova]

Благодаря на всички за отговорите! Оценявам го!

Здравейте, имам проблем със следната задача:

За кои стойности на реалния параметър $k$ единият корен на уравнението: $$x^2-15x+k^2-10=0$$ е с 3 по-голям от другия?

[tex]x^{2} - 15x + k^{2} - 10 = 0 , D = 265 - 4k^{2} > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{265})^{2} - (2k)^{2} > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{265} + 2k)(\sqrt{265} - 2k) > 0 \Rightarrow[/tex]
[tex]k \in ( -\frac{\sqrt{265}}{2} ; \frac{\sqrt{265}}{2})[/tex] или приблизително Д.М. $ k \in ( - 8,14 ; 8,14)$
Правилно сте се ориентирали към формулите на Виет:
Щом има 2 корена $x_{1 } ,x_{2 }$ и $x_{2 } = x_{1 } + 3$, то по формулите на Виет
$ x_{1 } + x_{2 } = - \frac{b}{a }\Rightarrow 2x_{1 } + 3 = 15 \Rightarrow x_{1 } = 6 , x_{2 } = 9$
Пак по формулите на Виет :
$x_{1 }.x_{2 } = \frac{c}{a} \Rightarrow 6.9 = k^{2} - 10 \Leftrightarrow k^{2} = 64 \Leftrightarrow (k + 8)(k - 8) = 0 \Rightarrow k_{1 } = - 8 , k_{2 } = 8$
$ k_{1 } , k_{2 } \in $ Д.М.

Мога ли да запиша приблизителното дефиниционно множество по следния начин: $k \in (\approx -8.14; \approx 8.14)$?

[S.B.]

Мога ли да запиша приблизителното дефиниционно множество по следния начин: $k \in (\approx -8.14; \approx 8.14)$?

Не, прието е да се запише във вида [tex]k\in ( - \frac{\sqrt{265}}{2} ; \frac{\sqrt{265}}{2})[/tex]
Приблизителните стойности на границите аз записах за Ваше удобство,за да се убедите по-лесно,че и двете стойности на $k$ са решения.

[ptj]

Ако се искаше разликата между корените да е по-голяма от 3 е приложима и друга идея за решаване,
но трябва да имаш представа как изглежда графиката на квадратното уравнение.

[tex]f(x)=x^2-15x+k^2-10[/tex]

Понеже върха на параболата е [tex]\frac{-b}{2a}[/tex], a тя е симерична спрямо вертикалната ос през върха, то споменантото в условието искане се трансформира в разстоянието между кой да е корен и него да е по-голямо от 1,5.

Конкретно в тази задача [tex]а=1,b=-15[/tex]. Понеже знака на [tex]"а"[/tex] е "+", то върха на параболата сочи надолу.

В крайна сметка разстоянието между връх и корен ще е по=голямо 1.5 точно когато [tex]f(\frac{-1}{2.(-15)}+1,5)=f(\frac{46}{30})<0[/tex], т.е. тогава сътветния аргумент ще е между двата корена.

П.П. Използва се условието число [tex](\alpha)[/tex] да е между двата корена : [tex]a.f(\alpha)<0[/tex].

Но конкретно за тази задача е по-удачно да се използват формулите на Виет.