Окръжност, описана около триъгълник

[simona_ovcharova]

Здравейте, училището наближава и аз пак се завръщам с въпроси. Благодаря на всеки, който някога ми е помагал тук! Оценявам го много!

Решавам следната задача:
Около $\triangle ABC$ е описана окръжност и е построен диаметърът й $CD$. Да се докаже, че $D$ е симетрична на ортоцентъра на триъгълника спрямо средата на $AB$.

Не съм се пробвала да реша задачата, така че ви моля да не давате подсказки веднага, за да се опитам и малко сама. Вероятно ще имам нужда, но имам желание да се помъча.

Въпросът ми е какво трябва да докажа? Какво означава точка да е симетрична на друга точка спрямо трета точка? Виждала съм, че две точки могат да бъдат симетрични относно дадена права, но не и точка. Има ли някакво обозначение за симетрични точки или просто се пише с думичка? Благодаря предварително!

[S.B.]

Здравейте, училището наближава и аз пак се завръщам с въпроси. Благодаря на всеки, който някога ми е помагал тук! Оценявам го много!

Решавам следната задача:
Около $\triangle ABC$ е описана окръжност и е построен диаметърът й $CD$. Да се докаже, че $D$ е симетрична на ортоцентъра на триъгълника спрямо средата на $AB$.

Не съм се пробвала да реша задачата, така че ви моля да не давате подсказки веднага, за да се опитам и малко сама. Вероятно ще имам нужда, но имам желание да се помъча.

Въпросът ми е какво трябва да докажа? Какво означава точка да е симетрична на друга точка спрямо трета точка? Виждала съм, че две точки могат да бъдат симетрични относно дадена права, но не и точка. Има ли някакво обозначение за симетрични точки или просто се пише с думичка? Благодаря предварително!

Освен ОСЕВА симетрия (симетрия спрамо права),съществува и ЦЕНТРАЛНА симетрия (симетрия спрямо точка) - прочетете за нея.

[simona_ovcharova]

Здравейте, училището наближава и аз пак се завръщам с въпроси. Благодаря на всеки, който някога ми е помагал тук! Оценявам го много!

Решавам следната задача:
Около $\triangle ABC$ е описана окръжност и е построен диаметърът й $CD$. Да се докаже, че $D$ е симетрична на ортоцентъра на триъгълника спрямо средата на $AB$.

Не съм се пробвала да реша задачата, така че ви моля да не давате подсказки веднага, за да се опитам и малко сама. Вероятно ще имам нужда, но имам желание да се помъча.

Въпросът ми е какво трябва да докажа? Какво означава точка да е симетрична на друга точка спрямо трета точка? Виждала съм, че две точки могат да бъдат симетрични относно дадена права, но не и точка. Има ли някакво обозначение за симетрични точки или просто се пише с думичка? Благодаря предварително!

Освен ОСЕВА симетрия (симетрия спрамо права),съществува и ЦЕНТРАЛНА симетрия (симетрия спрямо точка) - прочетете за нея.

Благодаря ти! Значи трябва да докажем, че т. $M$ е среда на отсечката $DH$. Тоест $MH = MD$, но това не е достатъчно, защото за всяка точка, лежаща на симетралата на $DH$, това е изпълнено. Трябва ни и $M \in DH$. Гледам чертежа от известно време, но не ми хрумва нищо. Забелязах, че $BHAD$ е успоредник, защото правата $AH \perp BC$ и $DB \perp BC$, защото $\angle DBC = \dfrac{1}{2}\widehat{DAC} = \dfrac{1}{2}180^\circ=90^\circ$, от което следва, че $AH||DB$. Аналогично можем да получим, че $AD||HB$. Оттук малко се обърквам. Имаме успоредник $BHAD$ и двата му диагонала $AB$ и $DH$. $M$ е средата на $AB$, следователно другият диагонал минава през $M$ и получихме, че $M \in DH$ и $MD = MH$, заради свойствата на успоредника. Права ли съм?

circle.png (373.97 KiB) Прегледано 559 пъти

[S.B.]

Да.Правилно доказа,че $BHAD$ е успоредник,щом има 2 двойки срещуположни страни успоредни.Също правилно отбелязваш,че според свойство на успоредника диагоналите му се разполовяват в пресечната си точка и от $AM = MB \Rightarrow HM = MD $ с което доказваш,че т.$D$ е симетрична на т.$H$ относно т.$M$