Равностранен триъгълник в окръжност

[simona_ovcharova]

Върху окръжност с център $O$ са дадени последователно точките $A,B,C$ и $D$, като $\widehat{AB}=\widehat{CD}=60 ^\circ$. Да се докаже, че средите на $OA,OD$ и $BC$ са върхове на равностранен триъгълник.

geogebra-export5.png (305.98 KiB) Прегледано 693 пъти

Успях да докажа, че $\triangle MNP$ е равнобедрен, като доказах, че $\triangle MOP \cong \triangle NOP$ по $I$ признак. След това от равностранния триъгълник $\triangle AOB$, получих, че $\angle MBO = 30 ^\circ$ ($BM-$ ъглополовяща, медиана и височина). Предполагам, че трябва да получа $\angle MBO = \angle MPO = 30 ^\circ$, но не знам как. За $\angle OPN$ ще е аналогично с другия равностранен триъгълник $\triangle COD$. Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Около четириъгълника $MOPB$ може да се опише окръжност, защото има два срещуположни прави ъгъла. Отсечката $MO$ се вижда под еднакъв ъгъл както от т.$B$, така и от т.$P$, следователно $$\measuredangle MPO=\measuredangle MBO=30^\circ$$

[simona_ovcharova]

Около четириъгълника $MOPB$ може да се опише окръжност, защото има два срещуположни прави ъгъла. Отсечката $MO$ се вижда под еднакъв ъгъл както от т.$B$, така и от т.$P$, следователно $$\measuredangle MPO=\measuredangle MBO=30^\circ$$

Разбрах защо около $MOPB$ може да се опише окръжност, но какво означава, че отсечка се вижда под еднакъв ъгъл от различни точки?

[KOPMOPAH]

... но какво означава, че отсечка се вижда под еднакъв ъгъл от различни точки?

Всеки триъгълник с основа $MO$ и трети връх, лежащ на дъгата $\widehat{PMB}$, която е част от окръжността, описана около $MOPB$, ще има ъгъл $30^\circ$ при този връх - ясно защо.
Затова се казва, че отсечката се вижда под ъгъл $30^\circ$ от всяка една такава точка, принадлежаща на дъгата.