Правоъгълен триъгълник и ъглополовящи в него

[simona_ovcharova]

В $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) е построена височината $CH$ ($H \in AB$). Ъглополовящите на ъглите $\angle CAB$ и $\angle BCH$ се пресичат в точка $M$, а ъглополовящите на $\angle ABC$ и $\angle ACH$ се пресичат в точка $N$. Ако $BC=16$ и $AC=12$, намерете дължината на отсечката, свързваща средите на отсечките $AN$ и $BM$.

triangle-and-angle-bisectors.png (311.34 KiB) Прегледано 696 пъти

Интуитивно намираме, че хипотенузата на триъгълника е $20$ $cm.$ $\triangle AMC$ и $\triangle BNC$ очевидно са правоъгълни, но нещо доказателствата ми бягат. Доказваме, че $AB \parallel NM$, а щом $AN$ и $BM$ не са успоредни, фигурата $ABMN$ става трапец. $PQ$ е средна основа, т.е. $PQ=\dfrac{AB+NM}{2}$, като си мисля, че дължината на $NM$ ще излезе от доказателството, че е успоредна на $AB$ (което още не знам как става ).

[S.B.]

Без заглавие (14).png (364.05 KiB) Прегледано 677 пъти

В $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) е построена височината $CH$ ($H \in AB$). Ъглополовящите на ъглите $\angle CAB$ и $\angle BCH$ се пресичат в точка $M$, а ъглополовящите на $\angle ABC$ и $\angle ACH$ се пресичат в точка $N$. Ако $BC=16$ и $AC=12$, намерете дължината на отсечката, свързваща средите на отсечките $AN$ и $BM$.

..... като си мисля, че дължината на $NM$ ще излезе от доказателството, че е успоредна на $AB$ (което още не знам как става ).

Правилно си мислиш,но аз ще използвам свой чертеж за това доказателство

[tex]\angle BAC = \angle HCB = \alpha \Rightarrow \angle MAC = \frac{\alpha}{2},\angle ACM = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \angle AMC = 90^\circ[/tex]
(Помисли си защо [tex]\angle BAC = \angle HCB[/tex] - лесно е!)
$\triangle AMM_{1 } \cong \triangle AMC$ (2-ри признак)
$\Rightarrow MM_{1 } = MC \Rightarrow M$ е среда на $M_{1 }C$
Аналогично:
[tex]\angle ABC = \angle ACH = \beta \Rightarrow \angle NBC = \frac{\beta}{2}, \angle NCB = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \Rightarrow \angle CNB = 90^\circ[/tex]
[tex]\triangle N_{1 }BN \cong \triangle NCB[/tex] (2-ри признак) $\Rightarrow NN_{1 } = NC \Rightarrow N$ е среда на $N_{1 }C$
Получи се: $N$ е среда на $N_{1 }C$ , $M$ е среда на $M_{1 }C \Rightarrow NM$ е средна отсечка за $\triangle N_{1 }M_{1 }C \Rightarrow NM||N_{1 }M_{1 }$ , а тогава и $NM || AB$

[simona_ovcharova]

Без заглавие (14).png

В $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) е построена височината $CH$ ($H \in AB$). Ъглополовящите на ъглите $\angle CAB$ и $\angle BCH$ се пресичат в точка $M$, а ъглополовящите на $\angle ABC$ и $\angle ACH$ се пресичат в точка $N$. Ако $BC=16$ и $AC=12$, намерете дължината на отсечката, свързваща средите на отсечките $AN$ и $BM$.

..... като си мисля, че дължината на $NM$ ще излезе от доказателството, че е успоредна на $AB$ (което още не знам как става ).

Правилно си мислиш,но аз ще използвам свой чертеж за това доказателство

[tex]\angle BAC = \angle HCB = \alpha \Rightarrow \angle MAC = \frac{\alpha}{2},\angle ACM = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \angle AMC = 90^\circ[/tex]
(Помисли си защо [tex]\angle BAC = \angle HCB[/tex] - лесно е!)
$\triangle AMM_{1 } \cong \triangle AMC$ (2-ри признак)
$\Rightarrow MM_{1 } = MC \Rightarrow M$ е среда на $M_{1 }C$
Аналогично:
[tex]\angle ABC = \angle ACH = \beta \Rightarrow \angle NBC = \frac{\beta}{2}, \angle NCB = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \Rightarrow \angle CNB = 90^\circ[/tex]
[tex]\triangle N_{1 }BN \cong \triangle NCB[/tex] (2-ри признак) $\Rightarrow NN_{1 } = NC \Rightarrow N$ е среда на $N_{1 }C$
Получи се: $N$ е среда на $N_{1 }C$ , $M$ е среда на $M_{1 }C \Rightarrow NM$ е средна отсечка за $\triangle N_{1 }M_{1 }C \Rightarrow NM||N_{1 }M_{1 }$ , а тогава и $NM || AB$

Благодаря ти много! Чертежът е... Може ли да попитам с GeoGebra ли е правен? Ако да, имам още много да уча значи.

По задачата:

$\angle HAC = 90^\circ - \angle ACH = \angle BCH$. Аналогично е и с другите два ъгъла. Как не съм се сетила? Не знам. Всичко разбрах с двете двойки еднакви правоъгълни триъгълници, от което следва, че $NM$ е средна отсечка и $NM \parallel AB$. $AB=20$ $cm$, но как намираме $NM$? Опитвам се да намеря $N_1M_1$.

П.П Успях. Пропуснах, че триъгълниците $\triangle ACM_1$ и $\triangle BCN_1$ са равнобедрени.

$AN_1 + N_1M_1=12$
$BM_1+N_1M_1=16$
$\Rightarrow AN_1+N_1M_1+BM_1+N_1M_1=28$, а ние знаем, че $AN_1+N_1M_1+BM_1=AB=20 \Rightarrow N_1M_1 = 8$ $cm$. Готови сме да намерим средната основа $PQ=\dfrac{20+4}{2}=12$ $cm$.

[S.B.]

Чертежът е... Може ли да попитам с GeoGebra ли е правен? Ако да, имам още много да уча значи.

Да,чертежът е правен само с GeoGebra