Медицентрове на $ABD$ и $ABC$ в трапец $ABCD$

[simona_ovcharova]

Точките $G_1$ и $G_2$ са медицентровете съответно на триъгълниците $ABD$ и $ABC$ в трапеца $ABCD$ $(AB||CD)$. Докажете, че правата $G_1G_2$ е успоредна на основите на трапеца и намерете отсечката $G_1G_2$, ако $CD=a$ $cm$.

geogebra-export.png (433.97 KiB) Прегледано 731 пъти

Много рядко се случва сама да се сещам, че мога да използвам вектори в задача, която решавам. Е, тази е такава.

$\vec{G_1G_2}=\vec{G_1D}+\vec{DC}+\vec{CG_2}=\dfrac{2}{3}\vec{MD}+\vec{DC}+\dfrac{2}{3}\vec{CM}=\dfrac{2}{3}(\vec{MD}+\vec{CM}) + \vec{DC}=\dfrac{2}{3}(\vec{MD}-\vec{MC})+\vec{DC}=\dfrac{2}{3}\vec{CD}+\vec{DC}=\vec{DC}-\dfrac{2}{3}\vec{DC}=\dfrac{1}{3}\vec{DC}$

[tex]\Rightarrow G_1G_2 || AB || CD[/tex] и $G_1G_2=\dfrac{1}{3}CD$ като отсечки.

Може ли някой да ми провери решението, защото не съм много сигурна на местата, на които обръщах местата на началото и края на векторите ($+$ към $-$). Също си мисля, че има по-пряк път към решението, защото на мен ми се наложи доста пъти да "обръщам" векторите. Благодаря предварително!

[Knowledge Greedy]

Адмирации

[simona_ovcharova]

Адмирации

Благодаря ти!