Равнобедрен триъгълник и вписани окръжности

[simona_ovcharova]

В равнобедрен триъгълник $\triangle ABC$ $(AC=BC)$ $D$ е среда на $AB$, а точка $M$ лежи на $AD$. Окръжност $k_1$, вписана в $\triangle AMC$, се допира до $CM$ в точка $P$. Окръжност $k_2$, вписана в $\triangle BMC$, се допира до $CM$ в точка $Q$. Докажете, че $MD=PQ$.

geogebra-export.png (295.77 KiB) Прегледано 678 пъти

Имаме доста равни допирателни отсечки:
$AE=AG,ME=MP,CG=CP;MH=MQ,BH=BI,CQ=CI$.
От $MH=MQ\Rightarrow MD+DH=MP+PQ$. Ако успеем да докажем, че $DH=MP\Leftrightarrow DH=ME$, равенството на отсечките ще следва. Опитвам се по някакъв начин да използвам, че $\triangle ABC$ е равнобедрен, но не знам дали го правя правилно. От $AC=BC$, получавам $BH=AE+QP$, което не виждам как да използвам! Благодаря предварително!

[Евва]

Решението ми не е дълго.Успях да докажа,че MP=DH .
Работих с 5 неизвестни.

Скрит текст: покажи

Утре мога да го пратя,трябва да готвя.

[KOPMOPAH]

2019-09-29_191329.png (23.48 KiB) Прегледано 616 пъти

Използвах част от твоя чертеж. Обозначих отсечките, както се вижда - важното е да не се плашиш от много букви при решаването на една задача. Ако не ти стигнат буквите от латинската, подкарвай гръцката

И така, от свойствата на допирателните можем да получим:$$\begin{array}{|l} e+f = d+b-c \\ a+b = c+g \end{array}$$
От условието знаем, че т.$D$ е среда на основата, значи можем да напишем$$a+d+e=f+g$$Системата ни става$$\begin{array}{|l} e+f = d+b-c \\ a+b = c+g \\a+d+e=f+g\end{array}$$Събираме първите две уравнения и системата придобива вида$$\begin{array}{|l} a+\cancel{b}+e+f =\cancel{c}+g+ d+\cancel{b}-\cancel {c} \\ a+d+e=f+g\end{array}$$ $$\begin{array}{|l} a+e+f =g+ d \\ a+d+e=f+g\end{array} $$Сега вадим второто уравнение от първото и получаваме $$a+e+f -a-d-e=g+ d-f-g$$което след преработка се превръща в $$f -d= d-f$$ и получаваме окончателно $$f =d$$т.е. получено е така желаното и търсено равенство $$DH=MP$$

И в заключение - няма да се плашиш от многото букви. Когато трябва - те се унищожават, както видя

[Евва]

Според означенията на Корморан аз използвах-a,d,e,f,c .Тогава HB=DB-DH т.е. HB=a+d+e-f
От св-во на допирателните от външна точка намирам BI=a+d+e-f

Получавам ВС=a+d+e-f+c
От св-во на допирателните CQ=CI=c , MP=EM=d , QP=? MP+QP=MD+DH ; d+QP=e+f [tex]\Rightarrow[/tex] QP=e+f-d
CP=CQ+QP=c+e+f-d ,CG=CP=c+e+f-d знаем AG=AE=a [tex]\Rightarrow[/tex]

Получавам AC=a+e+f-d+c
AC=BC ; a+e+f-d+c=a+d+e-f+c [tex]\Leftrightarrow[/tex] f=d
Доказахме,че DH=MP .

Скрит текст: покажи

Остава да довършиш задачата.