- Равнобедрен триъгълник и точка в него - 2.png (19.16 KiB) Прегледано 1524 пъти
Започваме с намирането на ъглите при основата: $\measuredangle ABC=\measuredangle BAC=\dfrac{180^\circ - \measuredangle ACB}{2}=70^\circ \Rightarrow \measuredangle CBM=20 ^\circ$.
Построяваме равностранния $\triangle ABH$.
Знаем, че всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка. Имаме, че $AC=BC$ и $AH=BH$, което означава, че точките $C$ и $H$ лежат на симетралата на $AB$ или с други думи, правата $CH$ е симетралата на $AB$. $\triangle ABC$ е равнобедрен с основа $AB$ и следователно твърдим, че $CH$ е и ъглополовяща и $\measuredangle BCH=\dfrac12 \measuredangle ACB=20^\circ$.
Тъй като $AB=AH, \measuredangle BAM=\measuredangle HAM=30^\circ$ и $AM$ е обща, $\triangle BAM \cong HAM$ по първи признак. Следователно $\measuredangle AHM = \measuredangle ABM=50^\circ \Rightarrow \measuredangle HBM=\measuredangle BHM=\measuredangle HBC=10^\circ$ и $HM \parallel BC$.
Нека височините към $BC$ на триъгълниците $BHC$ и $BMC$ са съответно $HX$ и $MY$. Тъй като $HX=MY$ и $\measuredangle HCX=\measuredangle MBY=20^\circ$, то правоъгълните триъгълници $HCX$ и $MBY$ са еднакви и следователно $CH=BM$.
Сега нека разгледаме $\triangle BCH$ и $\triangle CBM$:
1) $BC$ е обща
2) $CH=BM$ (по доказателство)
3) $\measuredangle BCH=\measuredangle CBM=20^\circ$.
Триъгълниците са еднакви по първи признак и намираме, че:
$$\measuredangle BMC = \measuredangle BHC = 180^\circ - \measuredangle CBH - \measuredangle BCH = 180^\circ - 10^\circ - 20^\circ = 150^\circ.$$
"Студент – това е все още нищо, от което може да излезе всичко." – Шандор Петьофи
Меню
