Камион и мотоциклетист

[ins-]

От град A за град B през планински път тръгнал пощенски камион. Половин час по-късно от A тръгва мотоциклетист, който се движи със скорост 50 км/ч, настига камиона, предава забравена спешна пратка, веднага се връща и пристига в A по същото време, когато камионът пристига в B. Ако е известно, че разстоянието между градовете е 180 км, да се намери скоростта на камиона.

[Knowledge Greedy]

Забравяме за ненужната и объркваща думичка "планински" в условието.
Нека скоростта на камиона е [tex]x km/h[/tex]
Ще изравняваме времена.
Преди да тръгне мотористът, камионът изминава [tex]\frac{1}{2}x[/tex] km
Това разстояние ще бъде "стопено" от моториста със скорост равна на разликата от неговата скорост спрямо пътя и скоростта на камиона [tex]50-x[/tex] км/час,
а това ще стане за [tex]\frac{\frac{1}{2}x}{50-x}[/tex] часа (– да отбележим, че за същото това време мотористът ще се върне в [tex]A[/tex].)
и ще се случи на километър [tex]50.\frac{\frac{1}{2}x}{50-x}[/tex] от [tex]A[/tex].

Последното означава, че камионът има да измине още [tex]180-50.\frac{\frac{1}{2}x}{50-x}[/tex] км до [tex]B[/tex].

Тези последни километри камионът ще измине за [tex]\frac{180-50.\frac{\frac{1}{2}x}{50-x}}{x}[/tex] часа.

Изравняваме двете времена (удебеления шрифт) [tex]\frac{\frac{1}{2}x}{50-x}=\frac{180-50.\frac{\frac{1}{2}x}{50-x}}{x}[/tex]

Получаваме квадратното уравнение [tex]x^2+410x-18000=0[/tex], чиито положителен корен е [tex]x=40[/tex]

[ins-]

Съставих системата уравнения:
[tex]50 m = 90[/tex]
[tex]1/2+m = k[/tex]
[tex](1/2+k).v=90[/tex],
където:
[tex]m[/tex] e времето, което е пътувал мотористът до настигането на камиона,
[tex]k[/tex] e времето, което е пътувал камионът, докато е бил настигнат от моториста,
[tex]v[/tex] - скоростта на камиона, която се търси.
След решаването ѝ получавам: [tex]v=32\frac{1}{7}[/tex] км/ч, което е противоречие с резултата от предходното решение и това, което намирам в сборника - източник на задачата.
Кое от двете решения е грешно? Защо?

[Knowledge Greedy]

Аз също се заблудих в началото, че "ще си поделят пътя" в края на задачата. Но камионът и мотористът си "поделят" (в смисъл поравно) времето.[tex]^*[/tex]
Фактически едното уравнение на системата ти трябва да е [tex]S_1+S_2=180[/tex]

Т.е. в твоите означения [tex]m=2[/tex] часа. Но за 2 часа мотористът минава 100 км, а не 90 км.
Много хубава задача. Изравняване на времената трябва да стане след настигането, т.е. срещата.

[ins-]

Да, точно затова, че се заблудих я пуснах. Може да "подхлъзне", ако човек не внимава. Липсва ми концентрация. В условието има още няколко излишни думи. Вероятно целта им е да обърка решаващите. Благодаря за корекцията!

[ins-]

Мисля, че успях да намеря алтернативно решение, ползващо идеи от две други решения.
Ако t e времето на движение на моториста до предаването на пратката, v - скоростта на камиона, s - пътят до настигането на камиона.

50 t = s (движение на моториста до и след настигането)
(1/2+t) v = s (движение на камиона до настигането)
v t = 180 - s (движение на камиона след настигането)

Решенията на системата уравнения са тройките:
s = -45/2, t = -9/20, v = -450
s = 100, t = 2, v = 40.

Няма как s, t, v да са отрицателни величини.
Следователно настигането е станало на 100-тния километър, след като мотористът се е движил 2 часа, а скоростта на камиона е 40 км/ч.