Еднакви последни цифри на точен квадрат

[vezni]

а) Да се докаже, че ако точен квадрат завършва на четири еднакви цифри, то тези цифри са нули.
б) Да се покаже, че има безбройно много точни квадрати, завършващи на три еднакви ненулеви цифри.

[pal702004]

Ясно, че последна цифра на крадрат, освен 0 може да е 1,4,9,6,5. Като последни две еднакви отпадат по модул 4:

$11,99 \equiv 3 \pmod 4$

$66 \equiv 2 \pmod 4$

(квадратите дават остатък 0 или 1 при делене на 4)

По модул 25 отпада 55 (Дели се на 5, но не и на 25).

Значи, остават четворките. За 4 последни четворки имаме:

$x^2=10000a+4444$

$x_1^2=2500a+1111$

и отново греда по модул 4 ($11 \equiv 3 \pmod 4$)

Да опитаме с три четворки:

$x^2=1000a+444$

$x_1^2=250a+111$

Нечетните квадрати дават остатък 1 при делене на 8,

$250 \equiv 2 \pmod 8$

$111\equiv -1 \pmod 8\Rightarrow a\equiv 1 \pmod 8$

И още първият опит дава резултат, понеже $1444=38^2$

А значи квадратите на всички числата от вида $500k \pm 38$ ще завършват на $444$