ТРИЪГЪЛНИК2

[math10.com]

По желание на някои потребители поствам нова задача с трудност за олимпиада 8-ми клас.
Надявам се да ви хареса и да дадете различни и интересни решения.Успех.

Точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно среди на страните [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex].
Дадено е , че [tex]AC=2AB[/tex] и [tex]BM=2AN[/tex].Да се определи големината на ъгъл [tex]\angle BAC[/tex]

[Гост]

Скрит текст: покажи

[tex]105^\circ?[/tex]

[Гост]

Не е [tex]105^\circ[/tex]
За сега няма да ви давам отговора , за да не нагласяте решението по отговора

[Гост]

Скрит текст: покажи

Ъгълът е [tex]120^\circ[/tex]. Бях допуснал техническа грешка, защото чертежът е сложен и бързах.

[Гост]

8-.PNG (25.12 KiB) Прегледано 623 пъти

[Гост]

math10, постни и твоето решение, ако е различно

Скрит текст: покажи

Ъгълът е <span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mn>12</mn><msup><mn>0</mn><mo>∘</mo></msup></mstyle></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\displaystyle 120^\circ</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height: 0.724115em; vertical-align: 0em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mord">2</span><span class="mord"><span class="mord">0</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height: 0.724115em;"><span class="" style="top: -3.113em; margin-right: 0.05em;"><span class="pstrut" style="height: 2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mbin mtight">∘</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>. Бях допуснал техническа грешка, защото чертежът е сложен и бързах.

постни и твоето решение, ако е различно

[Гост]

Моето решение е много по-различно:

math10.png (95.75 KiB) Прегледано 592 пъти

От AC=2AB и M среда на AC => AM=AB
Нека E e средата на AB, a D е средата на BM.
Тогава ED e средна отсечка в ABM => ED=AB/2 => AE=DE *)
През M построяваме права, успоредна на AN.
Нека тя пресича продължението на AB в точка F.
Тъй като MN e средна отсечка в ABC следва, че AFMN e успоредник и AF=AE **)
FM=AN (от AFMN - успоредник), но D e среда BM и BM=2AN => FA = MD ***)
ADB e правоъгълен триъгълник (от DE = 1/2AB) => <ADM=180-90=90 градуса.
От отношенията на медианите, това, че G e медицентър в ABC и D e среда на ВМ => ADG и MNG са еднакви по първи признак (<MGN = <AGD).
От еднаквостта на триъгълниците следва <MNG=<ADM=90 градуса.
Тъй като AFMN e успоредник, то тригълниците AFM и AMN са еднакви и <AFM=<MNA=<MNG=90 градуса.
Стигаме до извода, че AFM и ADM са правоъгълни триъгълници с обща хипотенуза и равни катети - FM и MD => са еднакви.
От еднаквостта им <FAM=<DAM=x и FA=AD ****)
От **), ***) и ****) имаме, че ADE e равностранен => <DAE=60 градуса.
180=<FAE=<FAM+<DAM+<DAE=x+x+60 => x = 60 градуса.
<BAC=<DAM+<DAB=60+60=120 градуса.

Решението е доста сложно за проследяване, но би трябвало да е коректно.

Задачата ми изглежда позната, но ме домързя да ровя. От къде е?
С помощта на косинусова теорема могат да се намерят и останалите 2 ъгъла на триъгълника, но те не са цели числа.

[Гост]

Моето решение е много по-различно:

math10.png

FM=AN (от AFMN - успоредник), но D e среда BM и BM=2AN => FM = MD ***)

[Гост]

Моето решение е много по-различно:

math10.png

FM=AN (от AFMN - успоредник), но D e среда BM и BM=2AN => FM = MD ***)

Значи игнорираме този ред и редът, където се ползва ***). Това не променя коректността на решението. Има ли други грешки?

[Гост]

Реално ***) се ползва при "Стигаме до извода, че AFM и ADM са правоъгълни триъгълници с обща хипотенуза и равни катети - FM и MD => са еднакви."
във вида FM=MD, но е било изписано погрешно.

[Гост]

Не, с изключение на това, че може би имаш предвид синусова теорема...

[Гост]

Имам предвид косинусови теореми - за ABC с ъгъл 120 е едната. С нея намираме третата страна чрез АC и BC и после за всеки от ъглите по още една.
Но, да - може и със синусова теорема да се работи. А може и да се ползва формула за медиана и отношението на AC и BC. От нея може да излезе отношението на трите страни. Така да се намерят ъглите чрез синусова или косинусова теорема.
Варианти да иска човек. Сигурно има още, но работя по прекалено сложни методи и сигурно има още начини да се намерят ъглите на триъгълника.

[Гост]

math10, давай следващата...

[math10.com]

ttt2.png (48.43 KiB) Прегледано 554 пъти

Моето решение е същото като първото предложено с разлика в допълнителното построение.Идеята е същата използвайки медицентъра доказваме ,че [tex]\triangle AMG[/tex] е равнобедрен.След това доказваме [tex]\triangle AMD \cong \triangle AMN[/tex]

Иначе задачата е подобна на давана задача на кандидатстудентски изпит в СУ и за това може би е позната на някои от вас.
И по желание на участниците очаквайте следващата задача.