Задача от ценен сайт

[Гост]

Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex], за който ъгъл [tex]BAC=45^\circ[/tex]. Права през върха [tex]A[/tex], перпендикулярна на ъглополовящата на ъгъл [tex]BAC[/tex], пресича правата [tex]BC[/tex] в точка [tex]M[/tex]. Намерете ъглите на триъгълника, ако [tex]BM=BA+AC[/tex].

[math10.com]

ttt1.png (45.91 KiB) Прегледано 1706 пъти

[tex]D\in AB ; DA=AC ; DB=MB[/tex]
[tex]AL[/tex] е ъглополовяща [tex]\Rightarrow \angle BAL= \angle CAL= \frac{45^\circ}{2} \Rightarrow \angle CAM=90^\circ- \frac{45^\circ}{2}= \frac{135^\circ}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle DAM=\angle CAM=\frac{135^\circ}{2} \Rightarrow \triangle CAM \cong \triangle DAM[/tex] по 1-ви признак
[tex]\Rightarrow \angle DMA=\angle CMA=\varphi[/tex] като СЕЕТ
Но [tex]\triangle DBM[/tex] е равнобедрен по построение ([tex]BM=AB+AC=AB+AD=DB[/tex]) [tex]\Rightarrow \angle BDM=\angle DMB=2\varphi[/tex]
Сега сборът от ъглите в [tex]\triangle ADM[/tex] е [tex]180^\circ \Rightarrow \varphi +2\varphi +\frac{135^\circ}{2}=180^\circ \Rightarrow \varphi =\frac{75^\circ}{2}[/tex]
Сега сборът от ъглите в [tex]\triangle DBM[/tex] е [tex]180^\circ \Rightarrow 2\varphi +2\varphi +\beta=180^\circ \Rightarrow \beta =30^\circ \Rightarrow \gamma = 105^\circ[/tex]

[Гост]

Има още един случай, който е изпуснат.

[ins-]

При изпуснатият случай M e от другата страна на BC и се получава, че <ABC=90 градуса, а <ACB=45 градуса.

[math10.com]

ttt1`.png (64.95 KiB) Прегледано 1619 пъти

Ето и втория случай.
Продължааме [tex]AB[/tex] , така че [tex]AE=AC[/tex]
[tex]\triangle AEM \cong \triangle ACM[/tex] по 1-и признак ([tex]AM[/tex] е обща [tex]AE=AC[/tex] по построение [tex]\angle EAM = \angle CAM=112,5^\circ[/tex])
[tex]\Rightarrow \angle EMA=\angle CMA=\alpha[/tex] , като СЕЕТ
[tex]BE=AB+AE=AB+AC=BM \Rightarrow \triangle BME[/tex] е ранобедрен
[tex]\angle BEM= \angle BME=2\alpha \Rightarrow \angle ACM=2\alpha[/tex]
И сега сборът от ъглите в [tex]\triangle AMC[/tex] е [tex]180^\circ \Rightarrow 2\alpha+\alpha+112,5^\circ=180^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \alpha =22,5^\circ \Rightarrow \angle ACB=2\alpha =45^\circ ; \angle ABC=90^\circ[/tex]