ТРИЪГЪЛНИК3

[math10.com]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] с ъгли [tex]\angle BAC=30^\circ ; \angle ABC=105^\circ ; \angle ACB=45^\circ[/tex]
Точка [tex]M\in AB[/tex] е такава , че [tex]\angle ACM=15^\circ ;\angle BCM=30^\circ[/tex]
Да се докаже че [tex]M[/tex] е среда на [tex]AB[/tex]

Ако може като за 7-ми клас , без корени , без синусови и косинусови теореми

[Гост]

tri.PNG (12.69 KiB) Прегледано 621 пъти

Спускаме височината BG. Да предположим, че М не е среда и нека средата е М'. M'GB е равностранен [tex]\Rightarrow M'G=BG=CG\Rightarrow 30=2(<GCM')\Rightarrow <ACM'=15\Rightarrow M'\equiv M[/tex]

[Гост]

Уж изглежда просто, но не е. Щом толкова много хора не се сетиха - значи не е лесна задача.

[math10.com]

ttt3.png (124.31 KiB) Прегледано 605 пъти

[tex]D\in AB ; \angle ADC=15^\circ ; A[/tex] е между [tex]B[/tex] и [tex]D[/tex]
[tex]E\in AB ; \angle BEC =75^\circ ;B[/tex] е между [tex]A[/tex] и [tex]E[/tex]
[tex]H\in BE ; CH\bot BE[/tex]
[tex]\triangle CED[/tex] е правоъгълен с ъгли [tex]\angle D=15^\circ ; \angle E=75^\circ[/tex]
Нека [tex]CH=x[/tex].От основна задача имаме [tex]CH=\frac{1}{4}DE \Rightarrow DE=4x[/tex]
[tex]\triangle ACD[/tex] и [tex]\triangle ACE[/tex] са равнобедрени [tex]\Rightarrow AD=AE=AC=\frac{1}{2}DE=2x[/tex]
[tex]\triangle BHC \cong \triangle EHC[/tex] по 2-ри признак ([tex]\angle CHB=\angle CHE=90^\circ ; \angle HBC=\angle HEC=75^\circ \Rightarrow \angle BCH=\angle ECH=15^\circ ; CH[/tex] е обща)
[tex]\Rightarrow BH=EH[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle CHM[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow MH=CH=x[/tex]
[tex]AE=AM+MB+BH+HE=2x \Rightarrow AM+HE=x=BM+BH \Rightarrow AM=BM[/tex]

[Гост]

Тая "основна задача" я докажи отделно. "Седмокласниците не са длъжни да я знаят", би казал math10.

[Гост]

Уж изглежда просто, но не е. Щом толкова много хора не се сетиха - значи не е лесна задача.

И за по-горното (три) ли ще кажеш, че не става за 7-ми клас?

[Гост]

Решенията в тази тема са готини. Просто се иска виртуозно владеене на материала за 7-ми клас и човек да се сети, лошото е, че малко хора се сещат. Още повече, че са свикнали с по-мощни инструменти.

[drago]

Това изискване да се реши нещо, като се използва само някакъв минимален арсенал, ми прилича на следното. Да кажем човек вече е юноша, знае как да ходи, даже може да бяга. Ако се наложи се катери и по дървета. И ти му казваш: сега искам да ходиш, ама като бебетата по на годинка - без да си свиваш краката в коленете и да стъпваш тромаво с цели крака, като в паници. А момчето вика - ама добре де, ама защо? Нали аз мога да си ходя нормално, че даже и бягам отлично.
Е, нещо от сорта. Това "виртуозно" владеене на материала за 7-ми клас ми изглежда нещо такова.
Ходете си нормално, хора!

[math10.com]

ttt3`.png (100.88 KiB) Прегледано 566 пъти

Нека [tex]H\in AB ; CH\bot AB[/tex] е петата на височината към хипотенузата , а [tex]M[/tex] е средата на хипотенузата.
[tex]CM=AM=BM[/tex] по теорема свойство (медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от хипотенузата)
[tex]\triangle CHM[/tex] е правоъгълен с ъгъл [tex]30^\circ[/tex] и по теорема свойство (катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник е равен на половината от хипотенузата) [tex]\Rightarrow CH=\frac{1}{2}CM[/tex]
[tex]\Rightarrow CH=\frac{1}{4}AB[/tex]

Ето решението на основната задача , което между другото го има в учебника по математика за 7-ми клас.

А към drago все пак сме в раздел 7-8 клас , така че който иска да не са му отрязани крилата нека да решава задачите в другите раздели.
Аз мисля , че форума е създаден за да помага по някакъв начин на учениците , та дори само с прочитане на някакво решение или заучаане на някоя идея.Решавайки задачите с произволен материал биха отнели тази полза на по-малките ученици.Не съм тук да се надскачам с някого , а да споделя някои интересни задачи , който съм срещал някъде или съм създал.Влизането в подобни полемики само ме разочарова и ме кара да спра да се занимавам, но на кой ли му пука.....

[Гост]

И двамата с drago сте прави, макар и на различни позиции. Вероятно той е против големите извращения с материал за малките ученици. А, че трябва да има трудни и красиви задачи и за тях е така. Просто много трудно се намира точен баланс.

[ins-]

math10.com, и аз понякога измислям задачи. Лошото е, че математиката е наука с хилядолетна история и от време на време се случва да преоткрия известни резултати. Казвали са ми след време, че задачи, които съм измислил са давани в преди това в немски списания, на всерусийска олимпиада или на TST в Румъния, но някои никой не е откривал да са измислени преди това. Преди време се зарадвах да видя мой резултат цитиран в Уикипедия. Кои от предложените от теб задачи са авторски? Маркирай ги по някакъв начин, ако искаш. Може да кажеш и как си стигнал до тях.

drago, разбирам и твоята гледна точка. Нека да има различни задачи. На всеки потребител може да му е интересно нещо различно. Аз не съм добър в "решете нещо с материал за ниските класове" и понякога се дразня, ако са прекалени извратении, но се случва да видя нещо интересно и е добре да се види, че понякога с детски материал могат да се направят чудеса от храброст.