Геометрична задача с материал за 7-ми клас

[ins-]

В триъгълник [tex]ABC[/tex] с [tex]AL[/tex], [tex]BM[/tex] и [tex]CH[/tex] са означени съответно ъглополовящата през върха [tex]A[/tex], медианата през върха [tex]B[/tex] и височината през върха [tex]C[/tex]. Да се докаже, че ако [tex]AL=BM=CH[/tex], то триъгълникът [tex]ABC[/tex] e равностранен.

[Гост]

tria.PNG (31.87 KiB) Прегледано 767 пъти

Да предположим, че триъг. не е равностранен и [tex]\angle A=\alpha<60[/tex] (аналогично се постъпва при другите случаи). Спускаме перпендукуляра $MV =>MV=(1/2)MB=>ABM=30$. Построяваме правоъгълника MZBV и успоредника $AVWL=>VZ=VW=>VZW$ е равнобедрен с ъгъл при основата [tex]30+x\Rightarrow 30+x<90\Rightarrow x<60\Rightarrow\angle VWL+\angle ZWF_1=\alpha/2+x>90\Rightarrow \alpha>180-2x>60[/tex]

[Гост]

Всъщност $х$ може да се изрази точно чрез [tex]\alpha[/tex]

[Гост]

tria0.PNG (30.51 KiB) Прегледано 749 пъти

сетих е за един начин, който елиминира нуждата от разглеждане на всички случаи-$CC_1$ е перпендикуляр [tex]\Rightarrow VC_1Z[/tex] е равностранен $\Rightarrow x<30\Rightarrow \alpha>120$, което е невъзможно.

[ins-]

$VZ=VW$

Защо е в сила това равенство?

[Гост]

$VZ=MB=AL=VW$

[ins-]

Да, така съм съгласен. Биха могли да се добавят още детайли по описанието на решението, но по-важни са интересните построения, абстракции и идеи. Тях не всеки може да ги направи.

Скрит текст: покажи

Задачата е давана на руска олимпиада.

[Гост]

ins, постни твоето решение

[S.B.]

Задачата е давана на руска олимпиада.

Сигурен ли си,че програмата за обучение в 7 клас в Русия съвпада с програмата за обучение в 7 клас в България?Аз не съм съвсем сигурна ,че това е така - нито за 7 нито за 8 клас.

[ins-]

Сигурен ли си,че програмата за обучение в 7 клас в Русия съвпада с програмата за обучение в 7 клас в България?Аз не съм съвсем сигурна ,че това е така - нито за 7 нито за 8 клас.

За това не съм сигурен. Още повече, че задачата е от 1967 г. Предложената от мен задача не е и 1:1 с оригиналната задача, а е усложнена. Но не е въпросът дали съвпадат, а че материалът, с който може да се реши задачата е за сегашен 7-ми клас.

[ins-]

ins, постни твоето решение

Наскоро почина дядо ми. Имаше един период, в който работеше като пазач. Старите хора имат навика да се хвалят с внуците и децата си. Предполагам, че се е изфукал, че съм много силен пред колегите му. Един от тях ми беше пратил тази задача да я реша с материал за 7-ми клас. math10.com публикува задачи, които имат интересни решения с материал 7-ми и 8-ми класове затова я публикувах. Не знаех как да я реша и ми се стори "изгъзица", ама се разрових из форумите и бях успял да направя някаква комбинация между началото на твоето решение (до построяването на успоредника и правоъгълника) и това: https://artofproblemsolving.com/community/c6h1404 Ако искаш - натам може да се опитам да възпроизведа по памет решението ми от тогава, но има вероятност да отнеме време.

Близка до тази задача е следната:

Statement.png (236.91 KiB) Прегледано 647 пъти

Solution.jpg (131.93 KiB) Прегледано 647 пъти

Възможно е и решение с използване на тригонометрия, но то не е за 7-ми клас.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 55p1267904

Спомням си, че върнах на човека, изпратил задачата следната: Вътрешно за страните AB, BC, CA на триъгълника ABC са избрани съответно точките M, N, P. Да се докаже, че ако <ACM=<BAN=<CBP и AM=BN=CP, то ABC e равностранен. (измислена от мен, без ограничение на използвания материал) Не успя да се справи. На нея съм виждал 2 коректни решения, 2 грешни и една статия за подобен клас задачи. Задачата беше публикувана в сп. "Математически форум", но след време разбрах, че е давана на TST - 1993 г. в Румъния.