Равнобедрен триъгълник с материал за 8-ми клас

[ins-]

Да се докаже, че ако в триъгълник [tex]ABC[/tex] съществува вътрешна точка [tex]P[/tex] такава, че [tex]\angle PAB=10^\circ[/tex], [tex]\angle PBA=20^\circ[/tex], [tex]\angle PCA=30^\circ[/tex], [tex]\angle PAC=40^\circ[/tex], то триъгълникът [tex]ABC[/tex] е равнобедрен.

[Гост]

ins, постни твоето решение

[Гост]

опа, за другата задача беше това

[Гост]

това ми изглежда като задача, създадена за синусова теорема-50,50,80 ли трябва да се получи?

[ins-]

Задачата може да се реши по поне 5 начина. Като бях ученик успях да я реша със синусова и косинусова теорема. Видях наскоро пуснати много задачи, решени с материал за 7-ми и 8-ми клас и затова реших да я споделя.

[math10.com]

ttt4.png (46.88 KiB) Прегледано 562 пъти

Нека разгледаме основната задача от 7-ми клас:
"Ако [tex]AO[/tex] и [tex]BO[/tex] са ъглополовящи в [tex]\triangle ABC[/tex] с ъгли [tex]\angle BAC=\alpha ; \angle ABC=\beta ; \angle BCA=\gamma[/tex] , то [tex]\angle AOB=90+\frac{\gamma}{2}[/tex]"
Ще използвам обратното твърдение:
T1:Ако точка [tex]O[/tex] е вътрешна точка за [tex]\triangle ABC[/tex] и е от ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] с ъгли [tex]\angle BAC=\alpha ; \angle ABC=\beta ; \angle BCA=\gamma[/tex] и [tex]\angle AOB=90+\frac{\gamma}{2}[/tex] , то [tex]BO[/tex] и [tex]CO[/tex] са също ъглополовящи.

Сега към задачата:
Нека [tex]D\in CP ; \angle DAP=\angle BAP=10^\circ[/tex]
[tex]\angle APB=180^\circ-(10^\circ+20^\circ) =150^\circ ; \angle APC=180^\circ-(40^\circ+30^\circ) =110^\circ \Rightarrow \angle BPC=360^\circ- (150^\circ+110^\circ)=100^\circ[/tex]
От [tex]T1 \Rightarrow \angle ABP=\angle DBP=20^\circ \Rightarrow \angle ADB=180^\circ-(40^\circ+20^\circ) =120^\circ[/tex]
[tex]\triangle ADC[/tex] е равнобедрен [tex]\angle CAD=\angle ACD=30^\circ \Rightarrow \angle ADC=180^\circ-(30^\circ+30^\circ) =120^\circ ; AD=CD[/tex]
[tex]\triangle ADB \cong \triangle CDB[/tex] по 1-ви признак ([tex]AD=CD ; \angle ADB=\angle ADC=120^\circ ;DB-[/tex] е обща)
[tex]\Rightarrow AB=BC[/tex] като СЕЕТ

Остана единствено да докажем [tex]T1[/tex] , което ще оставим за упражнение на участниците във форума

Скрит текст: покажи

Доказва се с допускане на противното.Избираме точка [tex]O_1 \in CO[/tex] да е пресечната точка на ъглополовящите и доказваме , че [tex]O_1[/tex] и [tex]O[/tex] съвпадат.

[ins-]

Много добро решение!

Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната окръжност. Обратната задача (Т1) може да се докаже като се ползва ГМТ на точки от които отсечка се вижда под даден ъгъл и, че от центърът на вписаната окръжност страна на триъгълник се вижда под 90+x/2. Заради това сложих ограничение да се реши задачата с материал за 8-ми клас.

Ако трябва да съм честен, сигурно никога нямаше да измисля подобно решение, но се зачетох и ми станаха интересни различни идеи.

За статистиката - това е задача от олимпиада на САЩ (USAMO) - 1996 г. и една от първите (ако не и първата), публикувани в AoPS. Ето и линк с още решения: https://artofproblemsolving.com/community/c6h2p2