Интересно дробно уравнение

[Меди]

Решете уравнението: $$x^2+\dfrac{25x^2}{(x+5)^2}=11.$$

Скрит текст: покажи

Решенията са $x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}.$

[ins-]

Скрит текст: покажи

Задачата е "световна класика". Прилагам упътване. Можем да извадим от двете страни на уравнението [tex]\frac{10x^2}{x+5}[/tex]. Ако положим [tex]u=\frac{x^2}{x+5}[/tex] получаваме [tex]u^2=11-10u[/tex]. Подобна задача е давана тук: https://cms.math.ca/wp-content/uploads/ ... am1992.pdf . Предполагам, че може да се реши по няколко начина.

[S.B.]

Решете уравнението: $$x^2+\dfrac{25x^2}{(x+5)^2}=11.$$

Скрит текст: покажи

Решенията са $x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}.$

Аз ще използвам известната формула за сбор на два квадрата:$$a^{2} + b^{2} = (a \pm b)^{2}\mp 2ab$$
Д.М. $x \ne - 5$
[tex]x^{2} + \frac{25x^{2}}{(x + 5)^{2}} = 11 \Leftrightarrow x^{2} + (\frac{5x}{x + 5})^{2} = 11 \Leftrightarrow(x - \frac{5x}{x + 5})^{2} + 2\frac{5x^{2}}{x + 5} = 11 \Leftrightarrow (\frac{x^{2}}{x + 5})^{2} + 10\frac{x^{2}}{x + 5} =11[/tex]
Полагам :$\frac{x^{2}}{x + 5} = t $
$t^{2} + 10t - 11 = 0 ,t_{1 } = -11, t_{2 } = 1$
Връщам субституцията:
1) $\frac{x^{2}}{x + 5} = -11 \Leftrightarrow x^{2} + 11x + 55 = 0, D = - 99 < 0$
2)$ \frac{x^{2}}{x + 5} = 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 5 = 0, D = 21 , x_{1,2 } = \frac{ 1 \pm \sqrt{21}}{2}$