олимпиада 2018 1 кръг 8 клас

[Гост]

Даден е трапец ABCD с основи AB и CD.
Ако точките M и N са среди съответно на основите AB и CD, точката K е среда на MN, а точка P е медицентър на триъгълника BCD, да се докаже, че точките A, K и P лежат на една права.

[Гост]

Набелязвам план за решение.
Въвеждаме две нови точки, Q и R. Нека точка Q е такава, че точка N е среда на AQ. Точка R е пресечница на AP и BQ. Доказваме последователно, че отсечка MN е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex] ABQ, BN е медиана в[tex]\triangle[/tex] ABQ, BP:PN=2:1 (защото P е медицентър), точка P е медицентър в триъгълник ABQ, точка R е среда на отсечка BQ. Правата AP разполовява отсечка BQ, следователно разполовява и средната отсечка MN.

[Гост]

Набелязвам план за решение.
Въвеждаме две нови точки, Q и R. Нека точка Q е такава, че точка N е среда на AQ. Точка R е пресечница на AP и BQ. Доказваме последователно, че отсечка MN е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex] ABQ, BN е медиана в[tex]\triangle[/tex] ABQ, BP:PN=2:1 (защото P е медицентър), точка P е медицентър в триъгълник ABQ, точка R е среда на отсечка BQ. Правата AP разполовява отсечка BQ, следователно разполовява и средната отсечка MN.

Благодаря