XVII Математическо състезание "Рики"

[Marshal]

Задачите са предназначени за 7 клас. Времето за работа е 4 астрономически часа.

Задача 1. Решете уравнението [tex]x^4 - 3x^3-x^2+3x=0[/tex]
Задача 2. Пресметнете произведението от естествени числа, които са решения на неравенството [tex]\frac{x-3}{2}^2 - x(\frac{x}{4 } +2)\ge-\frac{1}{2}(x+\frac{39}{2 } )[/tex]
Задача 3. В правоъгълния триъгълъник ABC СH е височината към хипотенузата, а Н е от АВ. Точките М и N са съответно средите на катетите BC и AC. Определете вида на триъгълника MNH сперед ъглите.
Задача 4. По средата на пътя от училище до дома на Асен се намира заведение за бързо хранене. Двежейки се с постоянна скорост, ученикът изминава цялото разстояние за 12 минути. Ако на път за училище се отбие в заведението за 3 минути, ще трябва да увеличи скоростта си, за да пристигне навреме. Колко пъти ще трябва да учеличи скоростта си Асен?
Задача 5. В зеленчукова градина от 2010 кв. м. 20% са пътеки между лехите, [tex]\frac{1}{5 }[/tex] заемат доматите, \frac{1}{3 } - краставиците и останалата част от градината е засята с тиквички. Добивът на тиквички от един кв.м. е 3,5 кг. Пресметнете колко килограма тиквички са произвели от градината?
Задача 6. Дакажете, че многочленът [tex]M=n^5-5n^3+4n[/tex] се дели на 120 за всяко цяло число n.
Задача 7. В триъгълника АВС симетралата на страната АС пресича страната АВ в точка N, симетралата на страна BC пресича страната АВ в точка М, а двете симетрали се пресичат в точка О - вътрешна за триъгълника АВС. Докажете, че СО е ъглополовяща на ъгъл MCN.
Задача 8. Върху катети ВС и АС на правоъгълния АВС са построени квадрат ВСNM и равнобедрен правоъгълен триъгълник АОС с хипотенуза АС, така че В и О са в различни полуравнини относно АС, а А и N са в различни полуравнини отностно ВС. Докажете, че СО е симетралата на остечката ВN.
Задача 9. Решете уравнението [tex]|(a-2)x-5a|=10[/tex], където а е параметър.
Задача 10. В равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС ъгъл АСВ е равен на 100° и BL е ъглополовяща на ъгъл АВС, L е от АС. Докажете, че АВ=BL+CL.

[b1ck0]

1. [tex]x(x-1)(x-3)(x+1) =0[/tex]

[ganka simeonova]

1. [tex]x(x-1)(x-3)(x+1) =0[/tex]

Тук ли намери, да се доказваш? Темата е за 7-класници. Ще те помоля, да си изтриеш поста.
Ако ти се решава, Олимпиада5 е на линия все още.

[amsara]

Поне да беше написал как го разлагаш.А не само крайния му вид.
x^4-3x^3-x^2+3x=0
x^2(x^2-1)-3x(x^2-1)=0
(x^2-1)(x^2-3x)=0
(x-1)(x+1)x(x-3)=0
x1=1 x2=-1 x3=0 x4=3

[amsara]

3 задача.
Нека ABC=?
HM е медиана в правоъгълния HBC.HM=MB=CM от свойството на медианата.
тогава ?HMB и ?HMC са равнобедрени.
MHB=MBH=?, следователно HMB=180-2?
HMC=180-(180-2?)=2?
тогава HCM=CHM=(180-2?)/2=90-?
Ъгъл С е прав, следователно ACH=90-(90-?)=?
Но от медианата NH ,следва че ?NCH е също равнобедрен.Следователно NHC=?
NHC+CHM=?+90-?=90°
?NHM е правоъгълен.

[amsara]

4 задача
Нека означим половината път с х.
Целият път се изминава за 12 мин, тоест при равномерна скорост половината се минава за 6 мин.
x=6.v1
v1=x/6
Ще престои 3 мин в заведението.Значи за да стигне на време и след втората половина от пътя, трябва да го измине за
6-3=3 мин.
x=3.v2
v2=x/3 е втората скорост
x/3 : x/6 = 6x/3x=2 пъти е увеличението на скоростта.

[amsara]

5 задача
20%.2010=20.2010/100=402 кв.м. лехи
2010/5=402 кв.метра с домати
2010/3=670 кв.метра с краставици.
2010-2.402-670=2010-804-670=536 кв.м с тиквички
536.3,5=1876 кг тиквички

[amsara]

Условието на втора задача е погрешно написано, според мен. Квадратът трябва да е за целия числител, защото иначе няма да можем да съкратим x^2 и ще се получи квадратно неравенство, което още не сме учили .

[ganka simeonova]

Условието на втора задача е погрешно написано, според мен. Квадратът трябва да е за целия числител, защото иначе няма да можем да съкратим x^2 и ще се получи квадратно неравенство, което още не сме учили .

Точно така

[amsara]

6 задача
n^5-5n^3+4n=M
M=n(n^4-5n^2+4)
M=n(n^4-n^2-4n^2+4)
M=n(n^2-4)((n^2-1)
M=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)
Нека ги наредим подред и ще видим, че това са последователни числа.
M=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
нека разложим числото 120 на прости множители.Те са 2,2,2,5,3 и 1.Следователно можем да представим 120 като произведение на 5 последователни числа.120=1.2.3.4.5
Тогава излиза, че 120 се дели на 5, многочленът - също.
Сред тези 5 последователни числа със сигурност има такова, което се дели на 3.Има поне две ,които се делят на две и поне едно, което се дели на 4.Тогава многочленът със сигурност се дели на следните числа - 1,2,3,4,5,8.А щом се дели едновременно на 3,5 и 8 се дели и на 120, тъй като 3.5.8=120

[amsara]

9 задача
нека израза в модула приемем за у.Тогава имаме да решим двете уравнения
y=10 и y=-10

(a-2)x-5a=10
(a-2)x=10+5a
x1=5(2+a)/(a-2) за a?2 има решение
при a-2=0; а=2 няма решение
при 2+a=0;a=-2;x=0

(a-2)x-5a=-10
(a-2)x=5a-10
x=5(a-2)/(a-2)=5
при a-2=0;a=2;0x=0 -Всяко х
при a-2?0;a?2;x=5

[amsara]

И в условието на 10-та задача има допусната грешка.Даже съм сигурна.Хем е правоъгълен триъгълникът, хем има вътрешен ъгъл 100°. Това е невъзможно.Да не би триъгълникът да е само равнобедрен Защото дори и да допуснем, че е правоъгълен и равнобедрен и е сгрешена мярката от 100° - няма особен смисъл.Те ъглите в такъв триъгълник са ясни - 45,45,90.Затова си мисля, че става дума просто за равнобедрен.

[amsara]

8 задача
Може би греша някъде, тъй като тази задача се решава устно.
Квадратът BCNM и равнобедреният правоъгълен ?AOC съгласно изискването за разположение на съответните точки по равнини, излиза че са външно построени.ОAC=OCA=(180-90)/2=45°
ACB=90°по условие
Продължаваме правата OC до пресичането й с BN в точка P.OCP=180° PCB=180-(90+45)=45°
Тоест СP лежи на диагонала на квадрата.CP e перпендикулярно на другия диагонал ВМ.
Диагоналите се разполовяват, затова NO=BO+'че са перпендикулярни
ОС - симетрала.

[b1ck0]

1. [tex]x(x-1)(x-3)(x+1) =0[/tex]

Тук ли намери, да се доказваш? Темата е за 7-класници. Ще те помоля, да си изтриеш поста.
Ако ти се решава, Олимпиада5 е на линия все още.

Какво пък трябва да означава това?

[ganka simeonova]

# Начало форум ‹ Олимпиади/състезания по математика ‹ Състезания 7-8 клас
Нека оставим 7-класниците да мислят. Както виждаш, все още има деца, които решават

[amsara]

Пак погледнах втора задача.За да се получи неравенство от първа степен,с равни коефициенти пред x^2 , което ще позволи съкращаване, трябва не само числителя, а и знаменателят на дробта да бъде повдигнат на квадрат.Тоест цялото умаляемо в лявата страна.Затова я решавам при това условие, дано да съм права.
(x^2-6x+9)/4-(x^2+8x)/4?(-2x-39)/4
x^2-6x+9-x^2-8x?-2x-39
-12x?-48
x?4
Следователно търсеното произведение е 4.3.2.1=24

[xprssurslf_97]

Ако може някой да каже отговора на 2-ра задача, защото според майка ми е грешна, а не си откривам грешката. Благодаря предварително