Трудна задача

[Гост]

Даден е ABC, С = 50°. Точките М и N са съответно от страните АС и ВС и правите AN и ВМ се пресичат в точка Р - вътрешна за триъгълника, като АРВ = 120°. Ъглополовящите на ъглите CAN и
СВМ се пресичат в точка Q. Намерете AQB

[Гост]

∠CAQ=\displaystyle \angle∠QAN=x
\displaystyle \angle∠CBQ=\displaystyle \angle∠QBM=y
\displaystyle \angle∠NAB=b
\displaystyle \angle∠MBA=c

Разгледайте \displaystyle \triangle△ABP, после \displaystyle \triangle△ABC и най-накраят \displaystyle \triangle△AQB.
Колко е (b+c)=?
Колко е (x+y)=?

[Гост]

∠CAQ=\displaystyle \angle∠QAN=x
\displaystyle \angle∠CBQ=\displaystyle \angle∠QBM=y
\displaystyle \angle∠NAB=b
\displaystyle \angle∠MBA=c

Разгледайте \displaystyle \triangle△ABP, после \displaystyle \triangle△ABC и най-накраят \displaystyle \triangle△AQB.
Колко е (b+c)=?
Колко е (x+y)=?

?

[math10.com]

tz.png (46.29 KiB) Прегледано 1490 пъти

Нека [tex]\angle CAQ=\angle QAM=\alpha[/tex]
[tex]\angle aPM=180^\circ-120^\circ=60^\circ[/tex] като съседни
[tex]\Rightarrow \angle AMP= 180^\circ-(60^\circ+2\alpha)=120^\circ-2\alpha \Rightarrow \angle CMB=180^\circ-(120^\circ-2\alpha)=60^\circ+2\alpha[/tex] ,като съседни
[tex]\Rightarrow \angle MBC=180-(60^\circ+2\alpha+50^\circ)=70^\circ-2\alpha \Rightarrow \angle MBQ=\angle CBQ=\frac{70^\circ-2\alpha}{2}=35^\circ-\alpha[/tex]
[tex]\angle PAB+\angle PBA=180^\circ-120^\circ=60^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AQB=180-(\alpha+35^\circ-\alpha+60^\circ)=85^\circ[/tex]