Шест задачи, на които запънах.

[Гост]

В
Здравейте.
Давам тук шест задачи, които скоро ми попаднаха и не мога да реша. Предлагат ги за 8-ми клас. Ще се радвам, ако публикувате решения.
Задача 1. Да се намерят стойностите на естествените числа m и n, така че числото |[tex]53^{n}[/tex]-[tex]37^{m}[/tex]| да има възможно най-малка стойност, т.е. за всички m и n - цели числа, m≥1 и n≥1. ###
Коментар по задача 1. Ясно е, че стойността на числото е четна, но различна от 0. 53-37=16. Следователно минималната стойност е някое четно число между 2 и 16. Доказах, че се дели на 4, следователно е някое от 4, 8, 12, 16. Но кое точно? Може би е 16? ###
Задача 2. Даден е равнобедрен триъгълник ABC (BC=CA). Точка D е среда на AB. Точка M лежи на BC. AM е ъглополовяща на CAB. Вярно ли е, че ако AM=CD, то триъгълник ABC е равностранен? Отговорът да се обоснове. ###
Задача 3. Даден е равнобедрен триъгълник ABC (BC=CA). Точка D е среда на AB. Точка M е среда на BC. Вярно ли е, че ако AM=CD, то триъгълник ABC е равностранен? Отговорът да се обоснове. ###
Задача 4. Вярно ли е, че триъгълник е равнобедрен, ако има:
а) равни две медиани?
б) равни две ъглополовящи?
в) равни ъглополовяща на ъгъл и медиана към страната срещу ъгъла?
г) равни ъглополовяща на ъгъл и медиана към страна не срещу ъгъла?
д) равни ъглополовяща на ъгъл и височина към страна не срещу ъгъла?
е) равни медиана и височина към различни страни?
Отговорите да се обосноват. ###
Забележка към задача 4.в) Има се предвид, че дължините на отсечките са равни, но не е дадено, че съвпадат.
Задача 5. В равнина е даден изпъкнал шестоъгълник. Всяка негова страна е с дължина по-голяма от 1. Вярно ли е, че поне един от диагоналите на шестоъгълника е с дължина по-голяма от 2? Отговорът да се обоснове. ###
Задача 6. В равнина е даден изпъкнал шестоъгълник. Всеки негов диагонал е с дължина по-голяма от 2.
а) Вярно ли е, че поне една от страните на шестоъгълника е с дължина по-голяма от 1? Отговорът да се обоснове.
б) Кое е най-малкото естествено число n (n цяло, n≥0), за което е вярно, че поне n на брой от страните на шестоъгълника са с дължина по-голяма от 1? Отговорът да се обоснове. Да се посочи пример за такъв шестоъгълник, за който точно n страни са с дължина по-голяма от 1. ###
Уточнение към задачи 5 и 6. Диагонал на шестоъгълник е отсечка с краища два срещуположни върха. Ако шестоъгълникът е ABCDEF, диагонали са отсечките AD,BE и CF, и само те. ###

[math10.com]

Ето ти решение на 1-ва.
Както вече си доказал [tex]|53^n-37^m|[/tex] се дели на 4.За хората които не могат да го преценят се доказва така.
[tex]53^n \equiv 1^n \equiv 1(mod 4)[/tex] (Или казано на Български 53 дава остатък 1 при делене на 4 ,от където следва че [tex]53^n[/tex] също дава остатък 1 при делене на 4)
Аналогично [tex]37^m \equiv 1^m \equiv 1(mod 4) \Rightarrow 53^n-37^m \equiv 1-1\equiv0(mod 4)[/tex]
И както правилно си стигнал до извода , че трябва да търсим отговора измежду числата 4,8,12 и 16
Сега ще преобразуваме малко израза:
[tex]|53^n-37^m|=|53^n-1-37^m+1|=[/tex]
[tex]=|(53-1)(53^{n-1}+53^{n-2}+...+53^1+1)-(37-1)(37^{m-1}+37^{m-2}+...+37^1+1)|[/tex]
[tex]=|52.f(n)-36.g(m)|=4|13.f(n)-9.g(m)|[/tex]
Сега правим сравнимост по модул 9
[tex]13\equiv 4(mod 9) ; f(n)\equiv \pm 1(mod 9) ; 9.g(m)\equiv 0(mod 9)[/tex]
[tex]\Rightarrow 13.f(n)-9.g(m) \equiv \pm 4(mod 9)[/tex] , но търсим [tex]4|13.f(n)-9.g(m)|= 4, 8,12 ,16 \Rightarrow |13.f(n)-9.g(m)|=1,2,3,4[/tex]
и единсвеното число което отговаря на условието е [tex]|13.f(n)-9.g(m)|=4[/tex] ,следва търсения отговор е 16