Петоъгълник

[math10.com]

Даден е изпъкналия петоъгълник [tex]ABCDE[/tex] , за който [tex]BC=CD ; DE=AE ; \angle BCD=120^\circ ; \angle DEA=60^\circ[/tex].
Точка [tex]M[/tex] е среда на [tex]AB[/tex].Да се намерят ъглите на [tex]\triangle EMC[/tex].

[Гост]

Петоъгълник

Ако греша, поправете ме. Струва ми се, че огговорът е същият, дори и петоъгълникът да не е изпъкнал, дори и да е самопресичащ се. Но задължително е триъгълниците [tex]\triangle[/tex]ADE и [tex]\triangle[/tex]BCD да са еднакво ориентирани. Ако не са еднакво ориентирани, ъглите на [tex]\triangle[/tex]EMC не са константи, може да варират по големини, които да зависят от другите ъгли на петоъгълника.
Отговор: [tex]\angle[/tex]CEM=30[tex]^\circ[/tex], [tex]\angle[/tex]EMC=90[tex]^\circ[/tex], [tex]\angle[/tex]MCE=60[tex]^\circ[/tex].
Насоки за намиране на решение.
Нека точка N е такава, че [tex]\angle[/tex]CEN=60[tex]^\circ[/tex] и EN=EC. Триъгълник [tex]\triangle[/tex]CEN е равностранен. Тогава триъгълници [tex]\triangle[/tex]CDE и [tex]\triangle[/tex]NAE еднакви по първи признак. Тогава AN= DC. Също AN= BC. AN и DC сключват ъгъл 60[tex]^\circ[/tex]. Оттам AN успоредна на BC. Четириъгълник ANBC е успоредник. Диагоналите му се разполовяват от пресечната си точка. Среда на AB е среда и на NC. EM е медиана в равностранен триъгълник [tex]\triangle[/tex]CEN, следователно е и височина. От там ъглите се пресмятат лесно.
Коментар. Как и защо се получават двойки еднакви триъгълници може да се досетим като разгледаме ротация с център E и ъгъл -60[tex]^\circ[/tex] или 60[tex]^\circ[/tex]. При това ъгълът на ротацията избираме да е -60[tex]^\circ[/tex] само когато триъгълниците [tex]\triangle[/tex]ADE и [tex]\triangle[/tex]BCD са дясно ориентирани (т.е. движим се от първа през втора към трета точка обратно на часовниковата стрелка). Ако споменатите два триъгълника са ляво ориентирани, вземаме ъгъл на ротация 60[tex]^\circ[/tex]. С означението R(X)=Y ще показвам, че точката или множеството от точки Y е образ на точката или множеството от точки X при ротацията. Тогава имаме R(D)=A, R(C)=N, , R(CD)=NA.

[Гост]

Не греште.Точно така е.И решението ви (насоките които си дал ) е чудесно.Ако може направете чертеж и го опишете , като решение, за да бъде прегледно и разбрано от нашите по-малки читатели.Ако не можете утре ще постна прегледно решение с обяснения .
Също така ви е абсолютно точно обяснението с ротацията ,за по-големите.Всъшност оригиналната задача я даваме именно при подготовката на тема ротация.Между другото нивото ви на подготовка е доста високо , мисленето е на ниво състезания по математика и отгоре.Представяте се като "гост".Ако не е тайна напишете на лично всъшност кой сте

[math10.com]

pet.png (80.25 KiB) Прегледано 1274 пъти

Ето описание на решението предложено от гост.Според мен едно чудесно решение.Няма да публикувам моето , тъй като то не се различава съществено от това.
Нека точка [tex]N[/tex] е такава, че [tex]\triangle CEN[/tex] е равностранен
[tex]\triangle AEN \cong \triangle EDC[/tex] по 1-ви признак [tex]EN=CE ; AE=DE ; \angle AEN=60^\circ- \angle CEA=\angle DEC[/tex]
[tex]\Rightarrow AN=DC ; \angle ANE=\angle DCE=\varphi[/tex] , като СЕЕТ [tex]\Rightarrow AN=BC[/tex]
[tex]\angle ANM=60^\circ - \varphi; \angle BCM=120^\circ - 60^\circ -\varphi =60^\circ - \varphi \Rightarrow \angle ANM= \angle BCM[/tex]
[tex]\Rightarrow AN || BC[/tex] (равни кръстни ъгли при пресичане на 2 прави с трета)
[tex]\Rightarrow ANBC[/tex] е успоредник ( двойката срещуположни страни са успоредни и равни)
Точка [tex]M[/tex] е среда на [tex]AB[/tex] по условие [tex]\Rightarrow M[/tex] е среда и на [tex]CN[/tex] (диагналите на успоредника се разполовяват от пресечната им точка)
[tex]\Rightarrow CM[/tex] е медиана в [tex]\triangle CEN \Rightarrow CM[/tex] е също така височина и ъглополовяща ( мдианата , височината и ъглополовящата в равностранен триъгълник съвпадат)
[tex]\Rightarrow \angle EMC=90^\circ ; \angle CEM=30; \angle CME=60^\circ[/tex]

Тъй като чувствително намаля интереса към темата " Олимпиадни задачи по геометрия за 7-8 клас" ще прекратя постването на такива задачи.Ако желаете още такива задачи или олимпиадни задачи от друг раздел пишете ,като коментар на поста.

[Гост]

В предния си пост, в който дадох насоки за решение, пропуснах да спомена нещо важно. Когато избираме точка N такава, че [tex]^\angle[/tex]CEN=60[tex]^\circ[/tex] и EN=EC, задължително е ъглите [tex]^\angle[/tex]DEA и [tex]^\angle[/tex]CEN да са с еднаква ориентация, т.е. алгебричните им мерки да са с еднакъв знак. Това условие е необходимо за еднозначното определяне на точка N.
Това условие е еквивалентно всъщност на условието за знака на ъгъла на ротацията, което съм споменал, но все пак е важно да се уточни.