Ирационално уравнение

[Гост]

Да се реши уравнението:

[Гост]

[tex]x^{2}[/tex]-[tex]\sqrt{a-x}[/tex]=a,
където a е реален параметър.

[Гост]

Да уточня. Аз съм този, който пусна задачата.
Задачата вече е решена. Ако някой се интересува, обяснявам долу накратко идеята за решение, което намерих.
Повдигаме на 2-ра степен и получаваме уравнение от 4-та степен, което обаче е от втора спрямо a. Това позволява да разложим полинома от 4-та степен на произведение от два полинома от втора степен, като допуснем, че x е даден параметър, а a - независимата променлива. Друг начин да стигнем до това разлагане е, след като повдигнем на 2-ра степен, да извадим почленно [tex]x^{2}[/tex] и прилагаме формулата за разлика на квадрати.
[tex](x^{2}-a)^{2}-x^{2}=a-x-x^{2}[/tex];
[tex](x^{2}-a-x)](x^{2}-a+x)=a-x-x^{2}[/tex];
[tex](x^{2}-x-a)](x^{2}+x-a)+x^{2}+x-a=0[/tex];
[tex](x^{2}+x-a)](x^{2}-x-a+1)=0[/tex];
След като получим това уравнение, задачата се свежда до решаване на две параметрични квадратни уравнения, изследване за кои стойности на параметъра a имат реални решения и дали получените решения са решения и на даденото в задачата ирационално уравнение. Така се получават четири интервала от стойности на a, за всеки от които броят на решенията е различен.
Може да се ориентираме за броя на решенията в зависимост от стойностите на параметъра a като вземем предвид, че в равнинна правоъгълна координатна система графиките на функциите [tex]y=x^{2}-a[/tex] и [tex]y^{2}=a-x[/tex] са две параболи, симетрични една на друга спрямо ъглополовящата на 2-ри и 4-ти квадрант.

[Гост]

Да уточня. Аз съм този, който пусна задачата.
Задачата вече е решена. Ако някой се интересува, обяснявам долу накратко идеята за решение, което намерих....

Чудесно! И още едно уточнение:Вие сте пуснали задачата в раздел "Състезания 7,8 клас", но ирационални уравнения се изучават в 9 клас.Да не говорим за методите ,които ползвате за решаването на уравнението.

[Гост]

Чудесно! И още едно уточнение:Вие сте пуснали задачата в раздел "Състезания 7,8 клас", но ирационални уравнения се изучават в 9 клас.Да не говорим за методите ,които ползвате за решаването на уравнението.

Трябваше да е в "Състезания 9-12 клас". Объркал съм раздела. Съжалявам. Понякога стават грешки. Ако това е много дразнещо, моля модератор да премести темата, или да я изтрие.
А защо да не говорим за методите, които ползвам за решаване на уравнението? Нека говорим. Ако сте намерили грешка, или мислите, че по пътя за решаване, който съм посочил, няма да се стигне до крайно решение, пишете. Или ако сте намерили друг начин за решаване, споделете, моля.

[Гост]

Трябваше да е в "Състезания 9-12 клас". Объркал съм раздела. Съжалявам. Понякога стават грешки.....
.......А защо да не говорим за методите, които ползвам за решаване на уравнението?

Когато се публикува една тема в даден раздел,това налага ограничение и в методите които се използват за решаване на задачата.В случая нито задачата нито методите отговарят на знанията на учениците от 7,8 клас.Сигурно е,че ако задачата беше публикувана в раздел 9,12 клас някой щеше да предложи решение.Това имах предвид в забележката си.

[S.B.]

[tex]x^{2}[/tex]-[tex]\sqrt{a-x}[/tex]=a,
където a е реален параметър.

[tex]x^{2} - \sqrt{a - x} = a \Leftrightarrow x^{2} - a = \sqrt{a -x}[/tex]
Д.М. $а - x \ge 0 \Rightarrow a\ge x$

$(x^{2} - a)^{2} = (\sqrt{a -x})^{2}$
$x^{4} -2ax^{2} + a^{y} = a - x \Leftrightarrow x^{4} - 2ax^{2} + a^{2} - a + x = 0 \Leftrightarrow $ $$a^{2} - a(2x^{2}+ 1) + (x^{4} +x) = 0 $$
$D = (2x^{2} + 1)^{2} - 4(x^{4} + x) = 4x^{4} + 4x^{2} + 1 - 4x^{4} - 4x = 4x^{2} - 4x + 1 = (2x - 1)^{2} \ge 0$
$a_{1, 2 } = \frac{2x^{2} + 1 \pm (2x - 1)}{2}$
$a_{1 } = \frac{2x^{2} + 1 + 2x - 1}{2} \Leftrightarrow a_{1 } = x^{2} + x$
$a_{2 } = \frac{2x^{2} + 1 - 2x + 1}{2} \Leftrightarrow a_{2 } = x^{2} - x + 1$

ПЪРВИ СЛУЧАЙ

$a = x^{2} + x \Leftrightarrow x^{2} + x - a = 0 $

$D = 1 + 4a \ge 0 \Rightarrow$
За $ a\in [- \frac{1}{4} , +\infty)$ Съществуват корени:
$x_{1,2 } = \frac{- 1 \pm\sqrt{1 + 4a}}{2}$
Проверявам дали е изпълнено условието за принадлежността им към Д.М.:$a\ge x$
За $a = -\frac{1}{4} \Rightarrow x_{1 } = x_{2 } = - \frac{1}{2}$,$ -\frac{1}{2} < - \frac{1}{4} \Rightarrow x < a$
За $a\in (-\frac{1}{4} ; +\infty) $ проверявам за $a = 0 \in (-\frac{1}{4} ; + \infty)$
$x_{1 } = \frac{- 1 + \sqrt{1}}{2} = 0 \Rightarrow x_{1 } = a$
$x_{2 } = \frac{- 1 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-2}{2} = -1 < 0 \Rightarrow x_{2 } < a$

ВТОРИ СЛУЧАЙ

$a = x^{2} - x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - x + 1 - a = 0 $
$D = 4a - 3 \ge 0$
За $a \in [\frac{3}{4} ; +\infty)$ съществуват корени:
$x_{3,4 } = \frac{1 \pm \sqrt{4а - 3}}{2}$
Проверявам дали е изпълнено условието за принадлежността им към Д.М. : $a\ge x$
За $a = \frac{3}{4} \rightarrow x_{3 } = x_{4 } = \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \Rightarrow x < a$
За $ a\in (\frac{3}{4} ; +\infty)$ проверявам за $a = 1 \in (\frac{3}{4} ; + \infty)$:
$x_{3 } = \frac{1 + \sqrt{4 - 3}}{2} = 1 \Rightarrow x_{3 } = a $
$x_{4 } = \frac{1-\sqrt{4 - 3}}{2} = 0 \Rightarrow x_{3 } < a$

ОТГОВОР:

За $a = -\frac{1}{4} \rightarrow x = - \frac{1}{2}$
За $a\in (- \frac{1}{4} ; \frac{3}{4})\rightarrow$ съществуват 2 корена: $x_{1,2 } = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$
За $a = \frac{3}{4} \rightarrow x = \frac{1}{2}$
За $ a \in (\frac{3}{4}; + \infty)\rightarrow$ съществуват 4 корена: $x_{1,2 } = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$ и $ x_{3,4 } = \frac{1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$

[S.B.]

ОТГОВОР:

За $a = -\frac{1}{4} \rightarrow x = - \frac{1}{2}$
За $a\in (- \frac{1}{4} ; \frac{3}{4})\rightarrow$ съществуват 2 корена: $x_{1,2 } = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$
За $a = \frac{3}{4} \rightarrow x = \frac{1}{2}$
За $ a \in (\frac{3}{4}; + \infty)\rightarrow$ съществуват 4 корена: $x_{1,2 } = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$ и $ x_{3,4 } = \frac{1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$

Със сигурност това не е отговорът,тъй като съм изпуснала едно съществено условие от Д.М., а именно,че освен [tex]a\ge x[/tex] трябва да е изпълнено и $x^{2} \ge a$, което променя отговора коренно. Сега нямам възможност,но ще направя корекцията задължително!

[Гост]

Ако се чудите какъв материал се изучава в училище може да прегледате сайта Уча се.