Задача с ъглополовящи

[Гост]

Даден е произволен триъгълник ABC, от върховете на ъглите при [tex]\angle[/tex]ABC и \angleBAC са построени ъглополовящите AL и AL1, които се пресичат в точка H.
Ако \angleBAC = 48 , то намерете \angle AHC .

[Гост]

Оправи си условието.Няма как ъглополовящата на [tex]\angle ABC[/tex] да е [tex]AL_1[/tex].Може би трябва да е [tex]BL_1[/tex].И ако искаш да е еднозначно определена задачата ако е дадено [tex]\angle BAC=48^\circ[/tex] трябва да търсиш (може да намериш )[tex]\angle BHC=114^\circ[/tex] .

[Гост]

Колега, как получи отговор 114 градуса ?

[math10.com]

Ozt.png (26.82 KiB) Прегледано 1188 пъти

Използват се 2 основни задачи.
Първата основна задача е:
Ъглополовящите в триъгълника се пресичат в една точка.
Доказателство:
Нека [tex]AL[/tex] и [tex]BL_1[/tex] са ъглополовящи съответно на ъглите [tex]\angle BAC[/tex] и [tex]\angle ABC[/tex] и [tex]A \cap BL_1=H[/tex].
Нека [tex]A_1, B_1,C_1[/tex] са петите на перпендикулярите спуснати от [tex]H[/tex] съответно към страните [tex]BC,AC, AB[/tex].
[tex]\triangle AHC_1 \cong \triangle AHB_1[/tex] по втори признак [tex]\Rightarrow HB_1=HC_1[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle BHC_1 \cong \triangle BHA_1[/tex] по втори признак [tex]\Rightarrow HA_1=HC_1[/tex] като СЕЕТ
[tex]\Rightarrow HA_1=HC_1=HB_1 \Rightarrow \triangle HCA_1 \cong \triangle HCB_1[/tex] по четвърти признак [tex]\Rightarrow \angle A_1CH=\angle B_1CH[/tex] като СЕЕТ
Втората основна задача е:
Ако [tex]H[/tex] е пресечната точка на ъглополовящите то [tex]\angle AHB=90^\circ+ \frac{\gamma}{2} ; \angle AHC=90^\circ+ \frac{\beta}{2} ; \angle BHC=90^\circ+ \frac{\alpha}{2}[/tex]
Доказателство:
Нека [tex]\angle BAC=\alpha ; \angle ABC=\beta \Rightarrow \angle BAL=\angle CAL=\frac{\alpha}{2} ; \angle ABL_1=\angle CBL_1=\frac{\beta}{2}[/tex]
[tex]\angle ACB=\gamma = 180^\circ -(\alpha+\beta) \Rightarrow (\alpha+\beta)=180^\circ - \gamma \Rightarrow \frac{(\alpha+\beta)}{2}=90^\circ -\frac{\gamma}{2}[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle AHB \Rightarrow \angle AHB=180^\circ -\frac{(\alpha+\beta)}{2}=180^\circ-(90^\circ -\frac{\gamma}{2})=90^\circ +\frac{\gamma}{2}[/tex]
Аналогично [tex]\angle BHC=180^\circ -\frac{(\gamma+\beta)}{2}=180^\circ-(90^\circ -\frac{\alpha}{2})=90^\circ +\frac{\alpha}{2} ;[/tex]
[tex]\angle AHC=180^\circ -\frac{(\gamma+\alpha)}{2}=180^\circ-(90^\circ -\frac{\beta}{2})=90^\circ +\frac{\beta}{2}[/tex]

Сега към дадната задача имаме [tex]\alpha=48^\circ ;H[/tex] е пресечната точка на ъглополовящите [tex]\Rightarrow \angle BHC=90^\circ +\frac{\alpha}{2}=114^\circ[/tex]