8 клас

[Гост]

моля за помощ точка б

[ammornil]

[tex]k(O;R),\ A \in k,\ B \in k,\ C \in k,\ \angle ACK = \angle BCK, (K \in k)[/tex]

220211_001.png (22.39 KiB) Прегледано 1217 пъти

(A)
Нека точките [tex]F_{1} \in k[/tex] и [tex]F_{2} \in k[/tex] са такива, че [tex]A[/tex] лежи между [tex]F_{1}[/tex] и [tex]C[/tex], в дъга която не съдържа [tex]K[/tex] и [tex]B[/tex] лежи между [tex]F_{2}[/tex] и [tex]C[/tex], в дъга която не съдържа [tex]K[/tex] (виж приложения чертеж).

От [tex]CK[/tex] ъглополовяща на [tex]\angle ACB \Rightarrow \angle ACK = \angle BCK[/tex]
Последните два върха са вписани за окръжността, следователно са равни на половината от градусните мерки на дъгите, които раменете им отсичат помежду си. С други думи:
[tex]\begin{array}{l} \angle ACK = \frac{\widehat{AF_{1}K}}{2} \Rightarrow \widehat{AF_{1}K}=2 \angle ACK\\ \phantom{1} \\ \angle BCK= \angle ACK = \frac{\widehat{BF_{2}K}}{2} \Rightarrow \widehat{BF_{2}K}=2 \angle ACK \end{array} \Rightarrow[/tex] двете дъги са равни, следователно точка [tex]K[/tex] е среда на [tex]\widehat{AF_{1}B}[/tex]

(Б)
Нека точка [tex]P[/tex] е среда на [tex]AB[/tex].
Понеже доказахме, че [tex]\widehat{AF_{1}K}=\widehat{BF_{2}K} \Rightarrow \angle BAK=\angle ABK = \frac{\widehat{AF_{1}K}}{2} \Rightarrow \triangle ABK[/tex] е равнобедрен [tex](AK=BK)[/tex]. Тогава [tex]KP[/tex] е височина, медиана, и ъглополовяща на [tex]\angle AKB[/tex], тоест [tex]K[/tex] лежи на права, перпендикулярна на [tex]AB[/tex], пресичаща [tex]AB[/tex] в средата, следователно [tex]K \in s_{AB}[/tex].