Текстова и геометрична задача за 7 клас

[Гост]

Върху страната AB на ∆ABC е взета точка M, такава че BM = 2 AM и ∠AMC = 120° . Симетралата на страната BC пресича отсечката CM в точка P, така че BM = 2PM . Да се намерят ъглите на:
а) ∆AMP; б) ∆MBP; в) ∆BCP; г) ∆ABC.

Автобус изминава разстоянието между две селища A и B в двете посоки по разписание за едно и също време със средна скорост 60 km/h. Автобусът тръгва от A, пристига в B и се връща обратно, като времето за слизане и качване на пътниците не се взема предвид.
а) Ако разстоянието между A и B е 37 km, колко часа е времето по разписание в едната посока?
б) Автобусът е тръгнал от А по разписание, но направил непредвиден престой. Останалите 25 km изминал със скорост 75 km/h и пристигнал в B навреме. Колко минути е бил престоят?
в) Един ден автобусът тръгнал от A по разписание, но направил непредвиден престой. След
престоя продължил, без да променя скоростта си и пристигнал в B с 10 минути закъснение. На връщане, за да компенсира закъснението, увеличил скоростта си с 20% и пристигнал навреме в A. Колко е разстоянието между A и B?

Знам, че задачите са от различен тип, но много ме затрудняват.

[Евва]

Нека т.Е е среда на отсечката МВ ,тогава АМ=МЕ=ЕВ=РМ .
[tex]\angle[/tex]АМС=120[tex]^\circ[/tex] ,съседният [tex]\angle[/tex]ЕМР=180[tex]^\circ[/tex]-120[tex]^\circ[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
От МЕ=РМ и [tex]\angle[/tex]ЕМР=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]МЕР е равностранен (1) .

а) [tex]\triangle[/tex]АМР е равнобедрен ( АМ=РМ ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]РАМ=[tex]\angle[/tex]МРА
2[tex]\angle[/tex]РАМ+[tex]\angle[/tex]АМР=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]РАМ=[tex]\angle[/tex]МРА=[tex]\frac{180 ^\circ-120 ^\circ }{2}[/tex]=30[tex]^\circ[/tex] (2)
а) Отговор :30[tex]^\circ[/tex];120[tex]^\circ[/tex];30[tex]^\circ[/tex]

б) МЕ=ЕВ [tex]\Rightarrow[/tex] РЕ е медиана в [tex]\triangle[/tex]МВР ;oт (1) знаем ,че РЕ=МЕ т.е. Медианата (РЕ) е равна на половината от страната (МВ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]МВР е правоъгълен ([tex]\angle[/tex]MPB=90[tex]^\circ[/tex])
[tex]\angle[/tex]РМВ+[tex]\angle[/tex]МВР+[tex]\angle[/tex]МРВ=180[tex]^\circ[/tex]
60[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]МВР+90[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]МВР=30[tex]^\circ[/tex]
б) Отговор:60[tex]^\circ[/tex];30[tex]^\circ[/tex];90[tex]^\circ[/tex]

в) [tex]\angle[/tex]ВРС е съседен на [tex]\angle[/tex]МРВ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВРС=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]
Тъй като т.Р лежи на симетралата на отсечката ВС ,то т.Р се намира на еднакво разстояние от
краищата на страната ВС . Това означава РВ=РС (3) .Вече знаем [tex]\triangle[/tex]ВСР е равнобедрен
[tex]\angle[/tex]ВРС+[tex]\angle[/tex]РВС+[tex]\angle[/tex]ВСР=180[tex]^\circ[/tex]
90[tex]^\circ[/tex]+2[tex]\angle[/tex]РВС=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]РВС=45[tex]^\circ[/tex]
в) Отговор: 45[tex]^\circ[/tex];45[tex]^\circ[/tex];90[tex]^\circ[/tex]

г) Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АМР и [tex]\triangle[/tex]ЕВР
1.АМ=ВЕ
2.РМ=РЕ
3.[tex]\angle[/tex]АМР=[tex]\angle[/tex]РЕВ=120[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АМР[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]ЕВР (по 1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] АР=ВР (4)
От (3) и (4) [tex]\Rightarrow[/tex] АР=АС т.е. [tex]\triangle[/tex]АРС е равнобедрен ,така доказахме ,че [tex]\angle[/tex]САР=[tex]\angle[/tex]РСА
[tex]\angle[/tex]МРА е външен за [tex]\triangle[/tex]АРС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]МРА=[tex]\angle[/tex]САР+[tex]\angle[/tex]РСА (виж (2))
30[tex]^\circ[/tex]=2[tex]\angle[/tex]САР ; намерихме [tex]\angle[/tex]САР=[tex]\angle[/tex]РСА=15[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\angle[/tex]САР+[tex]\angle[/tex]РАМ=15[tex]^\circ[/tex]+30[tex]^\circ[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\angle[/tex]АВР+[tex]\angle[/tex]РВС=30[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]=75[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ВСА=[tex]\angle[/tex]ВСР+[tex]\angle[/tex]РСА=45[tex]^\circ[/tex]+15[tex]^\circ[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
г) Отговор: 45[tex]^\circ[/tex];75[tex]^\circ[/tex];60[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

Две задачи за утре.
зад През върха А на квадрата АВСD е построена права, която пресича страната ВС в точка М. Ъглополовящата на ∢МАD пресича страната DC в точка L. Намерете DL+ ВМ, ако АМ= 7 cm.

зад В остроъгълния ∆АВС с ∢ACB=60 градуса са построени височините АD(D∈BС) и ВН( Н∈АС).Средата на страната АВ е точка М. Изразете периметъра на ∆НМD чрез АВ= с.