Уж простичка задача

[KOPMOPAH]

Дадени са положителните числа $a$, $b$ и $c$, за които $$a+b+c=13$$ $$\frac 1{a+b}+\frac 1{b+c}+\frac 1{c+a}=\frac 13$$Да се намери стойността на $$\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}$$

[S.B.]

Дадени са положителните числа $a$, $b$ и $c$, за които $$a+b+c=13$$ $$\frac 1{a+b}+\frac 1{b+c}+\frac 1{c+a}=\frac 13$$Да се намери стойността на $$\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}$$

[tex]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} =[/tex]

[tex]= \frac{13 - (b + c)}{b + c} + \frac{13 - (a + c)}{a + c} + \frac{13 - (a + b)}{a +b} =[/tex]

[tex]= \frac{13}{b + c} - \frac{b + c}{b + c} + \frac{13}{a + c} - \frac{a + c}{a + c} + \frac{13}{a + b} - \frac{a + b}{a + b} =[/tex]

[tex]= \frac{13}{b + c} - 1 + \frac{13}{a + c} - 1 + \frac{13}{a + b} - 1 =[/tex]

[tex]= 13( \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b}) - 3 =[/tex]

[tex]13. \frac{1}{3} - 3 = \frac{13 - 9}{3} = \frac{4}{3} > 0[/tex]
Да проверим винаги ли е възможно да се получи положителен отговор и ако не от какво зависи това:

[tex]\frac{1}{a + b + c} = \frac{1}{13} \Rightarrow \frac{1}{a + b}> \frac{1}{13}[/tex]

Аналогично [tex]\frac{1}{b + c}> \frac{1}{13}[/tex] и [tex]\frac{1}{a + c} > \frac{1}{13}[/tex]

Тогава [tex]\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} > \frac{3}{13}[/tex]

В случая [tex]\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = \frac{1}{3}[/tex]

[tex]\frac{1}{3} = \frac{13}{39} , \frac{3}{13} = \frac{9}{39}[/tex]

[tex]\frac{13}{39} > \frac{9}{39} \Rightarrow \frac{1}{3} > \frac{3}{13}[/tex] т. е. ако това условие е изпълнено се получава положителен отговор.

Нека в общият случай $a + b + c = t$ , [tex]\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = \frac{x}{y}[/tex]
Тогава [tex]M = \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} = t. \frac{x}{y} - 3[/tex]
[tex]M >0 \Rightarrow t. \frac{x}{y} - 3 > 0 \Leftrightarrow t. \frac{x}{y} > 3 \Rightarrow \frac{x}{y} > \frac{3}{t}[/tex]
Ако обаче [tex]\frac{x}{y} < \frac{3}{t} \rightarrow M<0[/tex] въпреки,че $a,b$ и $c$ са положителни числа.

[vezni]

Всъщност условието е подвеждащо.

Дадени са положителните числа $a$, $b$ и $c$, за които $$a+b+c=13$$ $$\frac 1{a+b}+\frac 1{b+c}+\frac 1{c+a}=\frac 13$$

предполага, че в действителност има такива числа $a$, $b$ и $c$. Обаче такива няма. Проблемът идва от ограничението за положителност на числата.
От неравенството между средно аритметично и средно хармонично имаме
$$\left((a+b)+(b+c)+(c+a)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right) \ge 3^2=9$$
а лявата страна според дадените равенства е [tex]2.13.\frac{1}{3}=\frac{26}{3}<9[/tex], тоест имаме противоречие.
Лично според мен не е коректно да се задават задачи с такива условия. Най-малкото можеше да бъде казано "съществуват ли положителни числа $a$, $b$ и $c$, за които ... и ако съществуват, да се намери стойността на израза ...". Друг вариант е просто да се махне изискването за положителност. Тогава има такива числа.

[KOPMOPAH]

Поздравления и за S.B., и за vezni!

Точно това се криеше зад темата "Уж простичка задача"