Да се реши в цели неотрицателни числа x^2+(x+1)^2=y^2

[1089]

Da se re6i [tex]x^2+(x+1)^2=y^2[/tex] celi neotricatelni 4isla

[allier]

Най-накрая една много трудна, която е лесна, ако се знае подходящата теория Ако искаш лесно решение, прочети някъде за уравнение на Пел. Ако искаш трудно решение, се решава с питагорови тройки и малко безкрайно спускане.

[ptj]

Пак стари задачи давате. Тази сигурно отново е по-голяма от мен, че даже помня как съм я решавал. Има си известен трик, но не бих казал че е трудна.

П.П. Една подсказка: Без загуба на общност може да се счита,че (x-y) и (x+y) са взаимно прости (резултат от спускането). Нататък малко разлагане...

[b1ck0]

7-8 клас ... Безкрайно спускане ..

[ptj]

7-8 клас ... Безкрайно спускане ..

Сега в 5-ти ли го знаете вече?

[1089]

znam 4e ne e koi znae kakvo, no s takova zaglavie powe4e hora 6te q widqt. a ina4e nqkakvo re6enie?

[1089]

e 6tom e lesna, za6to nqma re6enie?

[ptj]

Защото е лесна само за някои...

[allier]

Решението няма да ти помогне, ако не знаеш поне две от следните четири неща: формула за питагорови тройки, формула за числата на Фибоначи, метод на безкрайното спускане, уравнение на Пел. Така че кажи кои от тия неща знаеш и ще ти напиша решение.

[allier]

Ето ти най-краткото решение с Пел:

Преобразуваме до [tex](2x+1)^2 - 2y^2 = -1[/tex]. Търсиш минималното решение на следните две уравнения:
[tex]A^2-2B^2 = 1[/tex] и [tex]A^2-2B^2=-1[/tex]. Съответно се получават (3,2) и (1,1). Тогава общата формула за всички решения на уравнението [tex]A^2-2B^2=-1[/tex] е [tex]A_{n}+sqrt2B_{n} = (1+sqrt2)(3+2sqrt2)^{n}[/tex], откъдето се преобразува в следните две редици:
[tex]x_{n} = 3x_{n-1}+1+2y_{n-1}[/tex]
[tex]y_{n} = 4x_{n-1}+3y_{n-1}+2[/tex], което е добре дефинирано с начални условия [tex]x_{1} = 0, y_{1} = 1[/tex].

[allier]

ptj, напиши решението с разлагането, за което си казал по-горе.

[ptj]

[tex](x+1)^2=y^2-x^2[/tex]
[tex](x+1)^2=(y-x)(y+x)[/tex]

Очевидно [tex](x,y)=1[/tex], защото в противен случай [tex](x,x+1)\ne1[/tex] . Ако последните 2 числа имат общ делител, той може да дели само разликата им, а тя от своя страна е 1.
Нека [tex](y-x)=a^2[/tex] и [tex](y+x)=b^2[/tex], където [tex](a,b)=1[/tex].

[tex]x=\frac{b^2-a^2}{2 }[/tex] ([tex]b>a[/tex])
[tex]y=\frac{a^2+b^2}{2 }[/tex]

[tex](\frac{b^2-a^2}{2 }+1)^2=a^2b^2[/tex]
[tex]\frac{b^2-a^2}{2 }+1=ab[/tex]
[tex]b^2-a^2-2ab+2=0[/tex]
[tex](b-a)^2=2(a^2-1)[/tex]
[tex](b-a)^2=2(a+1)(a-1)[/tex]

(а+1,а-1)/2 затова има 2 възможности:

1.)[tex]a+1=p^2[/tex] и [tex]a-1=2q^2[/tex]
[tex]a=\frac{2q^2-p^2}{2 }[/tex]

или
2.) [tex]a+1=2p^2[/tex] и [tex]a-1=q^2[/tex].
[tex]a=\frac{2p^2-q^2}{2 }[/tex]

Те са симетрични, затова решението е единствено с точност до размяна на местата на [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex]. Освен това [tex](p,q)/2[/tex].

[tex]a=q^2-\frac{p^2}{2 }[/tex] е естествено число, когато [tex]2/p[/tex] , [tex]q \ge p[/tex], [tex](p,q)/2[/tex]
[tex](b-\frac{2q^2-p^2}{2 })^2=4p^2q^2[/tex]
[tex]b=q^2+4pq-\frac{p^2}{2 }[/tex]
[tex](a,b)=1 => q[/tex] e нечетно.

[mkmarinov]

y=5; x=3 удовлетворяват уравнението.
y-x=2; y+x=8
които не са нито точни квадрати, нито взаимно прости.
Това, че х и у са взаимно прости не означава, че сбора и разликата им също ще са взаимно прости!

[ptj]

y=5; x=3 удовлетворяват уравнението.
y-x=2; y+x=8
които не са нито точни квадрати, нито взаимно прости.
Това, че х и у са взаимно прости не означава, че сбора и разликата им също ще са взаимно прости!

Сбора и разликата им могат да имат най-много общ делител 2.
Този случай си го разгледайте сами, аналогично.

[allier]

Не е вярно решението ... Не можеш да получиш формула с параметри, която описва решенията - както виждаш в моето решение трябва да се получат две редици. Накрая бъркаш, защото за p и q има допълнително условие.

[ptj]

Не е вярно решението ... Не можеш да получиш формула с параметри, която описва решенията - както виждаш в моето решение трябва да се получат две редици. Накрая бъркаш, защото за p и q има допълнително условие.

Довършвайте си го сами, аз не съм ви частен учител

Идеята бе да се покаже, че става и с елементарни средства.

[allier]

Ама не става по твоя начин - това е проблемът. Даже този случай, който си започнал, не си го довършил до място, откъдето да се получава нещо близко до решение ... И, между другото, си много нахален да правиш коментари от рода на "да не съм ви частен учител" ... Като започнеш нещо, довърши го ... а ти даже и не си го започнал като хората.

[1089]

ako ne sam nahalen, moga li da pomolq lishkov za re6enie s bezkraino spuskane i formula za pitagorovi troiki

[allier]

Ето и едно решение по подобие на това на ptj. Ако нпкое от числата е 0-ла, директно намираме другото, затова можем да допуснем, че са строго положителни. Разлагаме както той е направил (и както се прави при намирането на всички питагорови тройки), и получаваме, че или
[tex]y=a^2+b^2, x=a^2-b^2, x+1=2ab[/tex] или [tex]y=a^2+b^2, x=2ab, x+1=a^2-b^2[/tex], за някои a,b, такива че a>b. Сега, и двете се обединяват в едно единствено условие: [tex]|a^2-b^2-2ab|=1[/tex]. Тук вече трябва да си наясно с разни трикове за нагаждане до безкрайно спускане. Забелязваме, че ако (a,b) е решение, то (b, a-2b) също е решение, за което първата компонента е по-голяма от втората и двете са естествени числа (директно се вижда, че [tex]a \ge 2b[/tex]), освен ако a=2b. Освен това a+b > b + (a-2b), т.е. с всяка такава операция сумата от двата компонента строго намалява. Очевидно, понеже говорим за естествени числа, това не може да продължава до безкрайност, следователно в един момент ще достигнем до ситуация, в която a=2b. Тогава директно се намира b=1, a=2. Сега, можем от това финално решение да се върнем до всяко друго по обратен път на операцията, а именно (a,b) -> (2a+b, a), т.е. всички двойки (a,b) са подредени в редица [tex](z_{n+1} , z_{n})[/tex], за която [tex]z_{n+1 }=2z_{n }+z_{n-1 }[/tex], с начални елементи [tex]z_{1 }=1, z_{2 }=2[/tex]. И вече накрая е лесно, с помощта на тази редица намираш връзката, която последователните решения (x,y) трябва да изпълняват.

[allier]

Хич не си нахален. Това решение със спускането използва много полезни трикове - по-точно това от едно решение да се отиде на друго решение с по-малка сума на двата компонента. По-интересно е как точно се намира второто решение - най-простият начин е да забележиш, че това в модула е квадратно уравнение по a например, следователно по Виет можем да намерим вторият му корен, който излиза 2b-a. Проблемът е, че 2b-a е отрицателно - за да стане положително трябва да му обърнем знака, т.е. да сменим a с -a вътре в модула, което пък излиза точно огледалното квадратно уравнение с a и b сменени т.е. директно излиза, че (b, a-2b) е решение. Най-накрая трябва да провериш, че a-2b < b и че a-2b >=0.