Правоъгълен триъгълник и среди

[ins-]

Даден е правоъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex] с височина към хипотенузата [tex]CH[/tex] ([tex]H\in{AB}[/tex]). Точките [tex]K[/tex], [tex]M[/tex] и [tex]P[/tex] са средите съответно на [tex]AB[/tex], [tex]BH[/tex] и [tex]AH[/tex]. Върху отсечките [tex]CP[/tex] и [tex]CM[/tex] са взети съответно точките [tex]N[/tex] и [tex]Q[/tex] така, че [tex]CN:CP=CQ:CM=2:3[/tex]. Правите [tex]AN[/tex] и [tex]BQ[/tex] се пресичат в точка [tex]D[/tex]. Докажете, че точка [tex]D[/tex] лежи на [tex]CH[/tex] и намерете дължината на [tex]DK[/tex], ако [tex]AB=18[/tex] cm.

[Hephaestus]

Доколкото мога да извлека от условието, точките [tex]N[/tex] и [tex]Q[/tex] се явяват медицентрове съответно в [tex]\triangle AHC[/tex] и [tex]\triangle BHC[/tex]. Откъдето следва, че [tex]AN[/tex] и [tex]BQ[/tex] са медиани към обща страна [tex]CH[/tex], т.е. точката [tex]D[/tex] лежи на височината [tex]CH[/tex] и я разполовява. Дотук добре. Остава да се намери [tex]DK[/tex]. Аз обаче не виждам как дължината на отсечката, свързваща средата на височината със средата на хипотенузата, да бъде еднозначно определена от дължината на хипотенузата.
Ще дам няколко примера:

[tex]AB = 18, AC = 6, BC = 12\sqrt{2} \Rightarrow DK = \sqrt{57} \approx 7,55[/tex]

[tex]AB = 18, AC = BC = 9 \sqrt{2} \Rightarrow DK = 4,5[/tex]

[tex]AB = 18, AC = 8\sqrt{2}, BC = 14 \Rightarrow DK = \frac{ \sqrt{1857} }{9} \approx 4,79[/tex]

Построенията в условието могат да бъдат направени и за трите примерни правоъгълни триъгълника с хипотенуза [tex]18[/tex], които съм посочил. Кой момент в условието би ми позволил да изключа два от тези триъгълника (или пък и трите)? Може би аз разсъждавам грешно или пък пропускам нещо, ще се радвам да видя и други мнения.

[ins-]

Това е източникът на задачата:

8klas.gif (42.24 KiB) Прегледано 1468 пъти

Ако не греша - [tex]DK[/tex] не може да се определи по тези данни.
Направих чертеж с Geogebra, както и изчисления с материал за по-горни класове и те показаха същото.
Искаше ми се да видя и други гледни точки, защото човек може да допуска грешки.
Заради [tex]DK[/tex] пуснах темата.
По тези данни [tex]CK[/tex] може да бъде еднозначно определена.

[drago]

Да, така е. Условието е сбъркано. Най-вероятно $K$ е среда на $MP$ - така пасва идеално. Защото за $D$ лесно се намира, че е среда на $CH$ и ако $K$ е среда на $MP$ то $DK$ ще е четвъртинка от $AB$. Другият вариант е $\triangle ABC$ да е равнобедрен. Тогава двете дефиниции за $K$ ще съвпадат. Обаче най вероятно са искали да кажат, че $K$ е среда на $MP$. Не е възможно да се пита за $CK$ - тя се определя елементарно и не ти трябват другите бла-бла, за да кажеш колко е.
Ами, неприятно е.

[drago]

Да, така е. Условието е сбъркано. Най-вероятно $K$ е среда на $MP$ - така пасва идеално. Защото за $D$ лесно се намира, че е среда на $CH$ и ако $K$ е среда на $MP$ то $DK$ ще е четвъртинка от $AB$. Другият вариант е $\triangle ABC$ да е равнобедрен. Тогава двете дефиниции за $K$ ще съвпадат. Обаче най вероятно са искали да кажат, че $K$ е среда на $MP$. Не е възможно да се пита за $CK$ - тя се определя елементарно и не ти трябват другите бла-бла, за да кажеш колко е.
Ами, неприятно е.

[ins-]

Това, което казва drago е достоверно въпреки, че ако не е равнобедрен триъгълника, както е структурирано изречението: "Точките K, M, P ..." е малко вероятно К да е среда на MP, защото е спомената преди M и P.

[drago]

Точно това е била задачата, която са възнамерявали да напишат - $K$ е среда на $MP$. Първо се дефинират $M$ и $P$ и после $K$ е среда на $MP$. Става най-интересно така. Няма друг вариант. И после при някаква последваща редакция, някой без много да мисли е решил, че щом $M$ и $P$ са среди на $BH$ и $AH$ то направо може да се напише, че $K$ е среда на $AB$, вместо на $MP$, което не е вярно. Или пък грешно е възстановил нещо, което е видял. Да не гадаем - така или иначе, при написването е сбъркано.
Такива неща се случват, но е задължително, след като всичко е оформено, да се направи един test solve от човек, който не предлага тази задача. И тогава грешката би цъфнала. Явно това не е направено. Жалко за хубавата задача и напъните на учениците.