Задачи от състезанието "Хитър Петър" 2021/2022г. за 7 клас

[Гост]

Колко са трицифрените числа, за които сборът на всеки две от цифрите им се
дели на третата им цифра?

[pal702004]

На нула няма да делим, така че работим с цифрите от 1 до 9.
С три еднакви цифри - всички 9 варианта стават.

С две еднакви цифри: $(a,a,b)$ където $b>a$
Понеже $a+a<2b$, то вариант е само $b=2a$, тоест, $(a,a,2a)\;\;\; a \in [1;4]$
Или 4 варианта с по 3 пермутации - 12 числа.

С три различни цифри: $(a,b,a+b)$ където $a<b$
Понеже $2a+b$ се дели на $b$, то $2a$ се дели на $b$ и понеже $a<b$, то $b=2a$
Или $(a,2a,3a)\;\;\; a\in [1;3]$
3 варианта с по 6 пермутации - 18 числа

Всичко:
$9+12+18$

[dvaiska]

50 туристи от 50 града (по 1 от всеки град) пътешестват само по тези градове. Всеки двама от тях се запознават когато са заедно в чужд за тях град. Колко най-малко чужди градове трябва да посети всеки, така че всички да се запознаят?

[peyo]

50 туристи от 50 града (по 1 от всеки град) пътешестват само по тези градове. Всеки двама от тях се запознават когато са заедно в чужд за тях град. Колко най-малко чужди градове трябва да посети всеки, така че всички да се запознаят?

Отговор: 49 туристи трябва да посетят 2 града а един турист 1 град.

Да номерирама градовете от $Г_1$ до $Г_{50}$ а туристите $Т_1$ до $Т_{50}$. Първо всички туристи отиват в $Г_1$ и така всички се запознават с изключение на $Т_1$, после всички туристи отиват в $Г_2$ и така всички се запознават с $Т_1$.

[Гост]

В язовир са развъдени три вида риби - каракуда, костур и кротушка. Двама
рибари уловили общо 105 риби, като 5/9 от улова на първия били каракуди, а 7/17 от улова на
втория – костури. Колко кротушки са уловили двамата, ако те са уловили по равен брой
каракуди и костури?

[pal702004]

50 туристи от 50 града (по 1 от всеки град) пътешестват само по тези градове. Всеки двама от тях се запознават когато са заедно в чужд за тях град. Колко най-малко чужди градове трябва да посети всеки, така че всички да се запознаят?

Отговор: 49 туристи трябва да посетят 2 града а един турист 1 град.

Да номерирама градовете от $Г_1$ до $Г_{50}$ а туристите $Т_1$ до $Т_{50}$. Първо всички туристи отиват в $Г_1$ и така всички се запознават с изключение на $Т_1$, после всички туристи отиват в $Г_2$ и така всички се запознават с $Т_1$.

И понеже Т1 и Т2 не се познават, трябва да отидат в Г3 на по бира.

[peyo]

quote="dvaiska"]50 туристи от 50 града (по 1 от всеки град) пътешестват само по тези градове. Всеки двама от тях се запознават когато са заедно в чужд за тях град. Колко най-малко чужди градове трябва да посети всеки, така че всички да се запознаят?/quote]

Отговор: 49 туристи трябва да посетят 2 града а един турист 1 град.

Да номерирама градовете от $Г_1$ до $Г_{50}$ а туристите $Т_1$ до $Т_{50}$. Първо всички туристи отиват в $Г_1$ и така всички се запознават с изключение на $Т_1$, после всички туристи отиват в $Г_2$ и така всички се запознават с $Т_1$.

И понеже Т1 и Т2 не се познават, трябва да отидат в Г3 на по бира.

Опс! Моя грешка. Ще се наложи наистина Т1 и Т2 да посетят бирения фестивал в Г3.

[peyo]

В язовир са развъдени три вида риби - каракуда, костур и кротушка. Двама
рибари уловили общо 105 риби, като 5/9 от улова на първия били каракуди, а 7/17 от улова на
втория – костури. Колко кротушки са уловили двамата, ако те са уловили по равен брой
каракуди и костури?

Много интересна задача!

Не съм специалист, но мисля, че никой не развъжда тези риби нарочно. Мисля, че само шаран, пъстърва и сьомга имат развъдници е днешно време в БГ. (може и да греша)

Аниуей. Да започнем с дефиницията на модела:
Първия рибар уловил Р_1 риби, а втория Р_2. Каракуда, костур и кротушка ще бъдат Ка,Ко,Кр. Първия рибар е уловил Ка_1,Ко_1,Кр_1, а втория Ка_1,Ко_1,Кр_1.

Следват зависимости в модела:
$Р_1 = Ка_1+Ко_1+Кр_1$
$Р_2 = Ка_2+Ко_2+Кр_2$
$Р_1 + Р_2 = 105$
$\frac{5}{9}Р_1 = Ка_1$
$\frac{7}{17}Р_2 = Ко_2$
$Ка_1=Ка_2$
$Ко_1=Ко_2$

И сега имаме 7 уравнения с 8 неизвестни. Това е не добре и означава, че вероятно няма да можем да намерим стойността на всяка променлива еднозначно. Но ние търсим колко е стойността на израза Кр_{12} = Кр_1+Кр_2. Не че това ще помогне. Освен това навсякъде работим с цели числа. Това никъдето не е отразено в зависимостите. Да земестим Р_1 с 9r_1 и Р_2 със 17r_2.

$9r_1= Ка_1+Ко_1+Кр_1$
$17r_2= Ка_2+Ко_2+Кр_2$
$9r_1 + 17r_2= 105$
$5r_1 = Ка_1$
$7r_2 = Ко_2$
$Ка_1=Ка_2$
$Ко_1=Ко_2$

И да решим системата:

Код: Избери целия код

var("r_1,r_2,Ка_1,Ко_1,Кр_1,Ка_2,Ко_2,Кр_2")

solve( [9*r_1 -( Ка_1+Ко_1+Кр_1),
17*r_2 -( Ка_2+Ко_2+Кр_2),
9*r_1 + 17*r_2 - 105,
5*r_1 - Ка_1,
7*r_2 - Ко_2,
Ка_1-Ка_2,
Ко_1-Ко_2])


Out[134]:
{Кр_1: -131*Кр_2/175 + 3,
Ко_2: 9*Кр_2/25 + 21,
Ко_1: 9*Кр_2/25 + 21,
Ка_2: -17*Кр_2/35 + 30,
Ка_1: -17*Кр_2/35 + 30,
r_2: 9*Кр_2/175 + 3,
r_1: -17*Кр_2/175 + 6}

Както и очаквахме няма еднозначно решение, но по щастливо стечение на обстоятелствата sympy реши всичко като функция на Кр_2 и сега това което ни интересува е първото отгоре:

$Кр_1 = -131Кр_2/175 + 3$

И сега виждаме, че Кр_2 трябва да се дели на 175. Значи може да има стойности 0,175,350,525.
При $Кр_2=0$:
$Кр_1 = 3$
При $Кр_2=175$:
$Кр_1 = -128$

Аха! Още нещо което липсваше е, че всички числа трябва да са по-големи или равни на 0.
Значи само $Кр_2=0$ и $Кр_1 = 3$ е решение и 0+3=3 е отговора който търсим.

[denis_ogn]

Намерете най-малкото естествено число n, сборът от цифрите на което е два пъти
по-голям от сбора от цифрите на числото 11n.

[pal702004]

В язовир са развъдени три вида риби - каракуда, костур и кротушка. Двама
рибари уловили общо 105 риби, като 5/9 от улова на първия били каракуди, а 7/17 от улова на
втория – костури. Колко кротушки са уловили двамата, ако те са уловили по равен брой
каракуди и костури?

Броят на рибите, уловени от първия е кратен на 9 - $9a$, а от втория - $17b$
Линейното диофантово уравнение $9a+17b=105$ има единствено решение в естествени числа $a=6,b=3$. Тоест, първия е уловил 54, а втория - 51 риби общо.
Така, първия е уловил $\dfrac 5 9 \cdot 54=30$ каракуди, толкова е уловил и втория.
Втория е уловил $\dfrac{7}{17}\cdot 51=21$ костура, толкова и първия

Значи кротушките на първия са $54-30-21=3$

Втория не ги е ловил.

[pal702004]

Намерете най-малкото естествено число n, сборът от цифрите на което е два пъти
по-голям от сбора от цифрите на числото 11n.

93

[peyo]

Намерете най-малкото естествено число n, сборът от цифрите на което е два пъти
по-голям от сбора от цифрите на числото 11n.

93

pal702004, намери ли някаква формула за това 93 или с отгатване?

[Гост]

Каква е най-голямата стойност на сбора на естествени числа x и y, ако x дели 2y+1, a y дели 2x+1?

Oтг.10, но как да стигнем до него?

[pal702004]

pal702004, намери ли някаква формула за това 93 или с отгатване?

Не мисля че може да се изведе някаква формула за тази задача. Да не говорим, че все пак е за 7-ми клас. Едноцифрено, естествено, не може да е.
Ако е двуцифрено, то задължително първата цифра трябва да е 9, за да има пренасяне от 9 към 10

Код: Избери целия код

            9    а
       9    а
------------------
    1,0,  а-1,   а


със сбор от цифрите $2a$. Ще имаме ли късмет с уравнението $9+a=4a$
Да! И хубаво, иначе трябваше да минаваме към трицифрени.

Каква е най-голямата стойност на сбора на естествени числа x и y, ако x дели 2y+1, a y дели 2x+1?

Подказка първа: Ако $x \le y$ то колко може да е $\dfrac{2x+1}{y}$
Пет може ли да е? Десет?