Задачи от НОМ-областен кръг за 8 клас

[Гост]

Моля за помощ!

Задaча:
Намерете всички естествени числа n, такива че [tex]7^{n}[/tex] + [tex]24^{n}[/tex] е квадрат на цяло число.

[pal702004]

Това "помощ" малко ме усъмни, но погледнах, че трябва да е минала. Добре. Понеже квадратите на нечените числа дават остатък 1 при делене на 4, то $7^n \equiv 1 \pmod 4$, тоест, $n$ е четно. $n=2k$

$7^{2k}+24^{2k}=x^2$. Числата са взаимнопрости и образуват примитивна питагорова тройка. А значи

$7^k=u^2-v^2=(u-v)(u+v)$
$24^k=2uv$

където $u,v$ са взаимнопрости с различна четност. Тоест $u-v$ и $u+v$ също са взаимнопрости и произведението им може да е степен на просто число само ако:

$u-v=1$
$u+v=7^k$

Откъдето $u=\dfrac{7^k+1}{2}, v=\dfrac{7^k-1}{2}$

Сега второто условие:

$24^k=\dfrac{7^{2k}-1}{2}$

$2\cdot 24^k+1=49^k$

Виждаме, че $k=1$ подхожда идеално, при всички $k>1$ лявата страна е по-малка от дясната.

$2\cdot 24^k+1<(2\cdot 24+1)^k$

Отговор: $n=2$

$7^2+24^2=25^2$

[pal702004]

Всъщност, ако за 8-класник термини като "примитивни питагорови тройки" и техните формули звучат страшно, нека направят така (то е абсолютно същото)

$7^{2k}=(x-24^k)(x+24^k)$

Елементарно е, че по-малкия множител е единица, но ако за 8-клас не е, може да напише така

$x-24^k=7^a$
$x+24^k=7^{2k-a}$

$2\cdot 24^k=7^a(7^{2k-2a}-1)$

И понеже $2\cdot 24^k$ никак не се дели на 7, то $a=0$. И се стига до същото равенство

$2 \cdot 24^k=49^k-1$

[dvaiska]

[tex]7^{2k }[/tex]=(x-[tex]24^{k}[/tex])(x+[tex]24^{k}[/tex]) , но x-[tex]24^{k}[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]7^{2k }[/tex]=x+[tex]24^{k}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]49^{k }[/tex]=x+[tex]24^{k}[/tex]

Ясно е, че при k=1 е изпълнено равенството и 49=x+24 [tex]\Rightarrow[/tex] x=25 и n=2
При k>1 [tex]49^{k }[/tex]>25+[tex]24^{k}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] k>1 не е решение

[Гост]

[tex]2^{a}[/tex] - [tex]4^{b }[/tex] = [tex]3^{c}[/tex] + 1

[pal702004]

$2^a-4^b=3^c+1$
Ако става въпрос на решения в цели числа, а в други просто няма смисъл:
Понеже $3^c+1$ не се дели на $8$ веднага определяме $b=1$ и стигаме до

$2^a-3^c=5$ С решения $a=3,c=1$ и $a=5,c=3$

Доказателството, че няма други решения никак не може да е просто и в никакъв случай за 8-ми клас. Тоест, задачата не е оттам. Понеже и $a$ и $c$ са нечетни (по модули 4 и 3) да разгледаме уравненито на Пелл:

$2x^2-3y^2=5$ , където едновременно трябва да е изпълнено: $x$ е степен на 2, $y$ е степен на 3.

Решенията на това уравнени са в рекурсивна зависимост

$x_{n}=10x_{n-1}-x_{n-2}$
$y_{n}=10y_{n-1}-y_{n-2}$

с две серии: $x_1=2,y_1=1, x_2=16,y_2=13$ и
$x_1=4,y_1=3, x_2=38,y_2=31$

Тоест, решенията $(x,y)$ от първата серия са:
$(2,1);(16,13);(158,129);(1564,1277) \ldots$

от втората:
$(4,3);(38,31);(376,307);(3722,3039) \ldots$

Разглеждайки редиците $y_k$ по модул $9$ виждаме, че $y_k$ не се дели на $9$. Тоест, решения на горното уравнение са само първите членове на двете редици.

[Гост]

Горното уравнение всъщност е давано на областния кръг в 8 клас, защото има решение с модул 64 и после модул 17 след получаване на b=1.

[pal702004]

Видях, стува ми се несериозно това да се дава на състезание. Не знам колко време имат учениците за решаване но...първо трябва да предположим, че по модул 64 ще излезе противоречие. (ами ако не излезе) Самото сравнение $3^x \equiv -5 \pmod{64}$, освен с дебилна проверка няма как да се реши (смятаме до $3^{11}$ - колко време?). Е добре, сметнахме...не излезе противоречие. После трябва да предположим, че по модул 17 ще излезе (а защо не 71).
както и да е, защото $3^{16k+11} \equiv 3^{11} \pmod {17}$ - ок, тук МТФ, да речем че има малко математика....само дето трябва да го сметнем все пак, при това вярно - още време. И цялото това блъскане - само по "предположения".
Въобще - лесно е да се напише по модул този, после по онзи, когато знаеш решението.
Интересно ми е колко деца са я решили.