8 клас средна отсечка в триъгълник

[Гост]

Даден е четириъгълникът ABCD. Нека
M и N са средите на срещуположните
му страни AD и BC, L и K – средите на
другата двойка срещуположни страни

AB и CD, а P и Q са средите на диаго-
налите AC и BD на четириъгълника.

Да се докаже, че отсечките MN, LK
и PQ имат обща среда.

Упътване: Означете средите на три-
те отсечки с S1

, S2
и S3
. Докажете, че

OS OS OS 1 2 3
→ → →
= = , като ги представите чрез
векторите OA OB OC → → →
, , и OD
→
, където O е

произволна точка.

[KOPMOPAH]

Даден е четириъгълникът ABCD. Нека
M и N са средите на срещуположните
му страни AD и BC, L и K – средите на
другата двойка срещуположни страни

AB и CD, а P и Q са средите на диаго-
налите AC и BD на четириъгълника.

Да се докаже, че отсечките MN, LK
и PQ имат обща среда.

Упътване: Означете средите на три-
те отсечки с S1

, S2
и S3
. Докажете, че

OS OS OS 1 2 3
→ → →
= = , като ги представите чрез
векторите OA OB OC → → →
, , и OD
→
, където O е

произволна точка.

Първо да напишем условието заедно с упътването като хората

Даден е четириъгълникът $ABCD$. Нека $M$ и $N$ са средите на срещуположните му страни $AD$ и $BC$, $L$ и $K$ – средите на другата двойка срещуположни страни $AB$ и $CD$, а $P$ и $Q$ са средите на диагоналите $AC$ и $BD$ на четириъгълника.

Да се докаже, че отсечките $MN$, $LK$ и $PQ$ имат обща среда.

Упътване: Означете средите на трите отсечки с $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Докажете, че $\overrightarrow{OS_1}=\overrightarrow{OS_2}=\overrightarrow{OS_3}$, като ги представите чрез
векторите $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{OD}$, където O е произволна точка.

8 клас средна отсечка в триъгълник.png (16.55 KiB) Прегледано 1295 пъти

Скрит текст: покажи

Може, разбира се, и без чертеж, а само с изразяването на векторите... , но паяжината си заслужава

Следваме упътването:

$~~~~~~~~\overrightarrow{OS_1}=\frac 12 \left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right)=\frac 12 \left(\frac 12 \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\right)+\frac 12 \left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\right)=\frac 14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$
$~~~~~~~~\overrightarrow{OS_2}=\frac 12 \left(\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OK}\right)=\frac 12 \left(\frac 12 \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)+\frac 12 \left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\right)=\frac 14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$
$~~~~~~~~\overrightarrow{OS_3}=\frac 12 \left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\right)=\frac 12 \left(\frac 12 \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\frac 12 \left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)\right)=\frac 14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$

Получи се, че $\overrightarrow{OS_1}=\overrightarrow{OS_2}=\overrightarrow{OS_2}$, откъдето следва, че $S_1\equiv S_2\equiv S_3$.

[Гост]

много благодаря