Задача от турнир Видин, Враца, Монтана

[Гост]

Моля изпратете решение:)

[S.B.]

Без заглавие - 2023-02-25T191427.445.png (395.58 KiB) Прегледано 1440 пъти

Нека $L$ е среда на $ND$ ,$Q$ е среда на $MC$, $K$ е среда на $AN$ и $P$ е среда на $BM$
Разглеждам [tex]\triangle AND[/tex]
$LK$ е средна отсечка [tex]\Rightarrow LK = || AD , LK = \frac{AD}{2}[/tex]
$MN$ е медиана в [tex]\triangle AND , MN \cap AD = M , MN \cap LK= O , LO=OK[/tex] ($NO$ е медиана в [tex]\triangle LKN[/tex],което следва от подобието на триъгълниците [tex]DMN[/tex] и $LON$)
[tex]\triangle AND \cong \triangle LNK \Rightarrow \frac{NO}{NM} = \frac{LK}{AD} = \frac{1}{2} \Rightarrow OM= ON[/tex]
Аналогично от [tex]\triangle BMC[/tex] получавам,че [tex]MN \cap PQ = O , OP = OQ ,OM = ON[/tex]

Ако диагоналите на един четириъгълник се разполовяват в пресечната си точка, то той е успоредник

Точките $P$, $K$ ,$Q$ и $L$ са върхове на четириъгълник ,за който получихме:

[tex]\begin{cases} PO = OQ \\ LO = OK \end{cases} \Rightarrow P,K,Q,L[/tex] са върхове на успоредник

Ако четириъгълникът $ABCD$ е успоредник, тогава :
[tex]\begin{cases} LK || AD \cup LK = \displaystyle\frac{AD}{2} \\ PQ||BC \cup PQ = \displaystyle\frac{BC}{2} \\AD || BC \cup AD = BC \end{cases} \Rightarrow LK \equiv PQ[/tex]
Или [tex]L,K,P,Q[/tex] лежат на една права