Задача

[Гост]

Някой да може да помогне?

[peyo]

Тази задача с приблизително построение в geogebra казва отговора е 12:

[Гост]

Може ли да ми изпратиш решението, Благодаря.

[KOPMOPAH]

GeoGebra е велик инструмент, който винаги съм препоръчвал при решаване на задачи. В случая, обаче, не знам доколко е уместно използването му, доколкото става дума за състезание.
Според мен ключът към решението се крие във факта, че при това условие се получават три правоъгълни триъгълника с ъгли $60^\circ$, което подсказва, че точките $L$, $M$ и $N$ делят съответните страни в отношение $2:1$. Оттам не е трудно да се получи колко е търсеното лице.

[Гост]

Но може ли да ми изпратиш и продължението на решението, Благодаря.

[KOPMOPAH]

Триъгълници.png (7.68 KiB) Прегледано 1471 пъти

Зелените триъгълници $\triangle LDM$, $\triangle MDN$, $\triangle NDL$, $\triangle LFM$, $\triangle MEN$ и $\triangle NGL$ са еднакви, следователно равнолицеви. Трите жълти триъгълника имат същото лице, защо?

Следователно лицето на $\triangle ABC$ е равно на сумата от лицата на $9$ равнолицеви триъгълника, значи лицето на един зелен или жълт триъгълник е $36:9=4$. А търсеното лице на $\triangle MLN$ е сума на $3$ зелени триъгълника.

Скрит текст: покажи

Това е обяснение, а не решение. Трябва да се посочи един от отговорите, а не да се решава.

[Гост]

На въпроса защо:
Например за триъгълник ANL:
NH-обща височина
AG=GL от NG-медиана
Следователно с равни лица и така за всички останали.

Иначе много благодаря за отговора.