Задача за подготовка на състезание

[Гост]

Да се докаже, че има безброй много двойки естествени числа $(a, b)$, така че $a^{8} + b^{4} + 1$ да се дели на $a \times b$.

Опитах се да разгледам някакви отделни случай, като $a = b$, при което е невъзможно $a \times b$ да дели $a^{8} + b^{4} + 1$. Не знам в каква посока да вървя. Да гледам числата по някакъв модул и да се забележи закономерност или някакъв друг подход?

[ptj]

От даденото може да кажеш какъв е периода на остатъците на степените на [tex]а[/tex] и [tex]b[/tex] спрямо другото число от двойката [tex]a,b[/tex]. В единия случай 8, а в другия 16.Не знам дали това може да ти помогне да търсиш вида на числата.

Мисля, че достатъчно да намериш само една двойка [tex](a;b)[/tex], защото имам съмнения, че всяко [tex](na,nb)[/tex] при взаимнопрости 3 числа също ще е решение.

[peyo]

Сложна тази задача като за 7-ми клас. Намерих решение тук, което ми се струва малко трудно за проследяване и не разбрах, защо неравенството е важно, но май става:

https://math.stackexchange.com/questions/546718/how-prove-this-aba8b41