Задача за трапец - 8 клас

[Гост]

Малко помощ за тази задача:

[Гост]

Според упътването трябва да се докаже че, триъгълник АМD е равностранен, но не виждам защо.

[S.B.]

Според упътването трябва да се докаже че, триъгълник АМD е равностранен, но не виждам защо.

Защото равностранният триъгълник има равни височини и тогава $LM = DH$, а $LM$ е средна отсечка и
[tex]LM = \frac{m}{2} \Rightarrow DH = \frac{m}{2}[/tex]

Коректно е следващият път, когато поствате задача за която е дадено упътване ,да цитирате и упътването.

[Гост]

Приемам забележката, но защо триъгълникът е равностранен. Не мога да го докажа.

[Гост]

Не мога да го докажа.

Не само Вие...Със знанията за 8 клас е много трудно!

[KOPMOPAH]

Задача за трапец - 8 клас.png (8.06 KiB) Прегледано 4547 пъти

Сравнително лесно се доказва, че $AM=DM$, но нататък...

[Евва]

Докажи ,че [tex]\triangle[/tex]АВМ е равнобедрен с бедра АМ и АВ .
Тогава АМ=АВ ,но също знаем ,че AD=AB [tex]\Rightarrow[/tex] AM=AD (1)
Както КОРМОРАН е споделил -лесно се доказва ,че AM=DM (2)
От (1) и (2) следва ,че [tex]\triangle[/tex]AMD е равностранен .

[ptj]

Има един универсален начин (достъпен за всеки клас) за решаване на подобни задачи , стига да знаем крайния отговор:

1.)Доказваме че условието и евентуалните допълните построения задават еднозначно задачата, т.е. тя има единствено решение.

2.) Построяваме всичко отзад напред и показваме, че нашето построение изпълнява условието.

От горните две следва, че сме намерили единственото решение.

П.П.
Знам за не малко случаи на състезатели измъквали се с подобна хитрост (неможейки да намерят оригиналното авторово решение).

[Гост]

Докажи ,че [tex]\triangle[/tex]АВМ е равнобедрен с бедра АМ и АВ .
Тогава АМ=АВ ,но също знаем ,че AD=AB [tex]\Rightarrow[/tex] AM=AD (1)
Както КОРМОРАН е споделил -лесно се доказва ,че AM=DM (2)
От (1) и (2) следва ,че [tex]\triangle[/tex]AMD е равностранен .

Дайте доказателството,че [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен

[Евва]

Помислете ,помъчете се малко и може да се справите .
За да станете по-умни трябва да натоварвате ,упражнявате своя мозък ,
а не да приемате готови решения .
Идея ми хрумна ,след като направих допълнителни построения .

[ptj]

Колкото по-мързеливи сте, толкова подобри математици ще бъдете!
Само че мързела се изразява не в сляпо преписване, а в по-кратки и ефективни доказателства.

[Гост]

Помислете ,помъчете се малко и може да се справите .
За да станете по-умни трябва да натоварвате ,упражнявате своя мозък ,
а не да приемате готови решения .
Идея ми хрумна ,след като направих допълнителни построения .

Въпреки всичко докажете,че [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен! Не се измъквайте!

[ptj]

От всичко дадено в условието не сме използвали само [tex]AB=AD[/tex]. Последното е равносилно на [tex]\angle DMB=45 ^\circ \Rightarrow \angle DBC=30 ^\circ[/tex].
Спускаме перпендикуляр [tex]CO[/tex] към [tex]DB[/tex].
Нека [tex]MB=x[/tex], тогава [tex]OC=x[/tex] и [tex]OB=x \sqrt{3}[/tex].
[tex]\triangle COD[/tex] e правоъгълен с втори ъгъл 45 градуса, сл. [tex]OD=x \Rightarrow BD=x(1+ \sqrt{3})[/tex].

[tex]2AB^2=2AD^2=DB^2 \Rightarrow AB=BD=x \frac{1+ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }[/tex]

Средната отсечка [tex]ML= \frac{DC+AB}{2}=\frac{x}{2}. \frac{2+ (1+ \sqrt{3} ) }{ \sqrt{2} }=x. \frac{3+ \sqrt{3} }{2 \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{3} }{2}.AB[/tex]

Правата [tex]LM[/tex] e симетрала за отсечката [tex]AD[/tex], сл. [tex]DM=AM[/tex].

От последните два реда следва, че [tex]\triangle DMA[/tex] е равностранен. ( в равностранния триъгълник [tex]h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]).

Търсеното в условието разстояние е дължината на една от другите височини в същия равностранен триъгълник.
Не знам само кой глупак е решил да приеме [tex]AB+CD[/tex] за параметър. Това само усложнява и без това трудната задача за 8-ми клас.

[Гост]

Не сме използвали само, че [tex]\angle DMB=45 ^\circ \Rightarrow \angle DBC=30 ^\circ[/tex].
Спускаме перпендикуляр [tex]CO[/tex] към [tex]DB[/tex].
Нека [tex]MB=x[/tex], тогава [tex]OC=x[/tex] и [tex]OB=x \sqrt{5}[/tex].
[tex]\triangle COD[/tex] e правоъгълен с втори ъгъл 45 градуса, сл. [tex]OD=x \Rightarrow BD=x(1+ \sqrt{5})[/tex].

[tex]2AB^2=2AD^2=DB^2 \Rightarrow AB=BD=x \frac{1+ \sqrt{5} }{ \sqrt{2} }[/tex]

Средната отсечка [tex]ML= \frac{DC+AB}{2}=\frac{x}{2}. \frac{2+ (1+ \sqrt{5} ) }{ \sqrt{2} }=[/tex]...

Според мен средната отсечка [tex]ML = \frac{m}{2}[/tex]
Всъщност Вие и Евва щахте да доказвате,че [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен! Е????

[ptj]

Бързаш като пале пред майка си. Трите точки обикновено означават нещо недовършено... Имах техническа грешка, но я поправих.

Между другото с другия предложен от мен метод задачата също става елементарна. Не я разписах подробно нарочно - с надеждата да видя поне някой да я реализира.

[Гост]

... Не я разписах подробно нарочно - с надеждата да видя поне някой да я реализира.

[Гост]

Докажете, че [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен, като $AB = AM$!

[ptj]

Докажете, че [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен, като $AB = AM$!

Нахална тъпа конска муха! Чети внимателно какво съм написал.

[Гост]

Докажете, че [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен, като $AB = AM$!

Нахална тъпа конска муха! Чети внимателно какво съм написал.

Както и да чета - никъде не е доказано,че[tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен и $AB = AM$!Освен това за "ВЕЛИК" математик като теб би било ясно ,че от $AD + CD = m$ и $AB = AD$ следва,че $AB + CD = m$ и тогава средната отсечка ще бъде [tex]LM = \frac{m}{2}[/tex]
Обиждаш на "нахална конска муха" защото нямаш други аргументи с които да докажеш това твърдениеПросто не можеш да го докажеш!

[Гост]

Нека точка E е пета на перпендикуляра от точка B към правата CD-page-001.jpg (167.06 KiB) Прегледано 4493 пъти

[Гост]

Ето и доказателството с фантомна точка-page-001.jpg (110.43 KiB) Прегледано 4479 пъти

[Гост]

Ето и решение с вписан четириъгълник-page-001.jpg (150.82 KiB) Прегледано 4474 пъти

[ptj]

...
Както и да чета - никъде не е доказано,че[tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен и $AB = AM$!Освен това за "ВЕЛИК" математик като теб би било ясно ,че от $AD + CD = m$ и $AB = AD$ следва,че $AB + CD = m$ и тогава средната отсечка ще бъде [tex]LM = \frac{m}{2}[/tex]
Обиждаш на "нахална конска муха" защото нямаш други аргументи с които да докажеш това твърдениеПросто не можеш да го докажеш!

Много си прост. След като е доказано, че [tex]\triangle AMD[/tex] е равностранен, няма нужда да се разглежда вида на [tex]\triangle AMB[/tex], защото първото решава задачата.

П.П. Иначе равнобедреността, която искаш, следва от [tex]AB=AD[/tex] (по условие) и [tex]AD=AM[/tex] (страни в равностранен триъгълник).

[ptj]

Поздравления за доказателството с фантомна точка!
Аз имах предвид малко по-различно доказателство (спрямо първия публикуван чертеж), но на практика естествено двете са еквивалентни.

[Гост]

Поздравления за доказателството с фантомна точка!

Благодаря!