Равностранен триъгълник

[inveidar]

Нека [tex]CH[/tex] и [tex]AM[/tex] са съответно височина и медиана в остроъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex], като [tex]H \in AB, M \in BC, CH=AM[/tex] и [tex]\angle ABC=60 ^\circ[/tex]. Докажете, че [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен.

[Гост]

Screenshot_1.png (34.02 KiB) Прегледано 1338 пъти

[inveidar]

Интересен стил на излагане на решението.

[S.B.]

Нека [tex]CH[/tex] и [tex]AM[/tex] са съответно височина и медиана в остроъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex], като [tex]H \in AB, M \in BC, CH=AM[/tex] и [tex]\angle ABC=60 ^\circ[/tex]. Докажете, че [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен.

Без заглавие - 2023-12-18T114848.818.png (227.41 KiB) Прегледано 1287 пъти

[tex]CH = AM = h[/tex]
$AM$ е медиана, [tex]M\in BC \Rightarrow BM = MC[/tex]
Построявам [tex]MN \bot AB , N \in AB \Rightarrow MN || CH[/tex]
[tex]\begin{cases} MB = MC \\ MN || CH \end{cases} \Rightarrow MN[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle BHC \Rightarrow MN = \frac{CH}{2}, MN = \frac{h}{2}[/tex]
[tex]\triangle ANM[/tex] е правоъгълен по построение :
[tex]\angle ANM = 90 ^\circ[/tex] , $AM = h$ е хипотенуза , а катетът [tex]MN = \frac{h}{2} \Rightarrow \angle MAN = 30 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle ABM[/tex]:
[tex]\angle MAB = \angle MAN = 30 ^\circ , \angle ABM = \angle ABC = 60 ^\circ \Rightarrow \angle AMB = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle BHC \cong \triangle ABM[/tex] ($ AM = CH$ , [tex]\angle AMB = \angle CHB = 90 ^\circ , \angle ABM = \angle HBC = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow AB = BC[/tex]
[tex]\begin{cases} AB = BC \\ \angle ABC = 60 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равностранен

[Гост]

Още едно решение (този път не е в телеграфен стил като предишното).

Нека точка X е пета на перпендикуляра от върха A към страната BC-page-001.jpg (201.67 KiB) Прегледано 1265 пъти

[stefanb]

geogebra-export (4).png (310.52 KiB) Прегледано 1226 пъти

още 1
нека CH=AM=k
постр. CD усп. на AM
CD=2AM=2k
DA=AB
постр. HE т.E - среда на CD
[tex]\triangle[/tex]DHC е правоъг.[tex]\Rightarrow[/tex]HE=DE=CE=CH=k
[tex]\Rightarrow \triangle[/tex]EHC е равностр.
[tex]\Rightarrow \angle[/tex]ECB=90
[tex]\Rightarrow \angle[/tex]CDB=30
[tex]\Rightarrow[/tex]CB=1/2DB=AB
но [tex]\angle[/tex]ABC=60
[tex]\Rightarrow \triangle[/tex]ABC е равн.