триъгълник7

[math10.com]

Отдавна не съм поствал задачи.Ето една сравнително лесна и приятна задача за 7-ми клас.

За [tex]\triangle ABC[/tex] е известно, че [tex]\angle CAB : \angle ABC : \angle ACB = 2:3:5[/tex].
Медианата [tex]CM[/tex] и ъглополовчщата [tex]AL[/tex] се пресичат в точка [tex]D[/tex].
Да се докаже, че [tex]AD=BC[/tex]

[Евва]

И аз мисля ,че не е много трудна .

[Гост]

Триъгълник7-page-001.jpg (136.94 KiB) Прегледано 1453 пъти

[S.B.]

Отдавна не съм поствал задачи.Ето една сравнително лесна и приятна задача за 7-ми клас.

За [tex]\triangle ABC[/tex] е известно, че [tex]\angle CAB : \angle ABC : \angle ACB = 2:3:5[/tex].
Медианата [tex]CM[/tex] и ъглополовчщата [tex]AL[/tex] се пресичат в точка [tex]D[/tex].
Да се докаже, че [tex]AD=BC[/tex]

Без заглавие - 2024-02-29T171402.662.png (282.24 KiB) Прегледано 1425 пъти

Още един поглед върху задачата:
[tex]\angle A: \angle B : \angle C = 2:3:5 \Rightarrow \angle A = 2x , \angle B = 3x, \angle C = 5x \Rightarrow 2x + 3x + 5x = 180 ^\circ \Leftrightarrow x = 18 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle A = 36 ^\circ , \angle B = 54 ^\circ , \angle C = 90 ^\circ $$
$CM$ е медиана [tex]\Rightarrow AM = CM = BM[/tex]
[tex]\triangle BMC[/tex] е равнобедрен , [tex]\Rightarrow \angle MBC = \angle BCM = 54 ^\circ \Rightarrow \angle CMB = 72 ^\circ[/tex]

Старото златно правило :"Видиш ли медиана - продължи я докато я удвоиш!"

продължавам $CM$ до т.[tex]M_{1 }, C M_{1 }= CM[/tex]
[tex]\triangle AM C_{1 } \cong \triangle CMB[/tex]( по първи признак)
[tex]\Rightarrow A C_{1 } = BC , \angle A C_{1 }M = \angle MCB = 54 ^\circ[/tex]
$$ BC = A C_{1 } $$
[tex]\angle CMB[/tex] е външен за [tex]\triangle AMD \Rightarrow \angle CMB = \angle DAM + \angle ADM \Leftrightarrow 72 ^\circ = 18 ^\circ + \angle ADM \Rightarrow \angle ADM = 54 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle AD C_{1 }[/tex]:
[tex]\angle A C_{1 }D = \angle AD C_{1 } = 54 ^\circ[/tex] (т.е. [tex]\triangle A C_{1 }D[/tex] е равнобедрен)
$$ \Rightarrow AD = A C_{1 }$$
От [tex]\begin{cases}AC_{1 } = BC \\ A C_{1 } = AD \end{cases} \Rightarrow BC = AD[/tex]

[math10.com]

Tr7.png (52.29 KiB) Прегледано 1407 пъти

Ето и моето решение за разнообрзие.
По стандартния начин намираме ъглите на [tex]\triangle ABC ; \angle BAC= 36 ^\circ ; \angle ABC=54 ^\circ ; \angle ACB=90 ^\circ[/tex]
Последователно намираме [tex]\angle CAD = \angle DAB=18 ^\circ (AD[/tex] е ъглополовяща).
От [tex]CM[/tex] медиана следва [tex]\triangle AMC[/tex]е равнобедрен и [tex]\angle AMC=108 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle CMB=72 ^\circ[/tex] като съседни
Построявам отсечката [tex]CN ; N \in AB[/tex] , такава че [tex]\angle BCN=18 ^\circ \Rightarrow \angle BNC= 108 ^\circ[/tex] и [tex]\angle ANC=72 ^\circ[/tex] като съседни.
От тук съобрзяваме , че [tex]\triangle MNC[/tex] е равнобедрен и [tex]CM=CN[/tex]
Сега разглеждаме [tex]\triangle AMD[/tex] и [tex]\triangle CND[/tex]
[tex]1.AM=CN[/tex]
[tex]2. \angle DAM= \angle BCM=18 ^\circ[/tex]
[tex]3. \angle AMD= \angle CNB=108 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle AMD \cong \triangle CND[/tex] по 2-ри признак
[tex]AD=BC[/tex] като СЕЕТ

[Евва]

Яд ме е ,че се забавих .
Оставам с чувството ,че math10.com ми открадна мислите .

[stefanb]

7KL.png (349.6 KiB) Прегледано 1360 пъти

Още 1 поглед:
Значи намерихме ъглите.
През т. А постр. права II CM. Тя пресича правата ВС в т. F.
AF=2MC
FB=2BC
FC=BC
През т. C постр. права II AD. Тя пресича правата AF в т. E
ADCE e успоредник[tex]\Rightarrow[/tex]ЕС=AD
[tex]\angle[/tex]FEC=[tex]\angle[/tex]FAD=72-18=54
[tex]\angle[/tex]EFC=[tex]\angle[/tex]MCB=54
[tex]\Rightarrow[/tex]EC=FC=AD=BC

[Гост]

Докажете,че AF= 2MC без да използвате средна отсечка,тъй като това е материал за 8 клас,а задачата е за 7 клас

[Евва]

Вдъхновена от идеята на stefanb .
1. Построяваме [tex]\triangle[/tex]ABF равнобедрен (AB=AF) и точките B ,F лежат в различни полуравнини относно правата АС .
[tex]\angle[/tex]AFC=[tex]\angle[/tex]AFB=[tex]\angle[/tex]ABF =54[tex]^\circ[/tex] (1)

2. AC е височина ,ъглополовяща и медиана в равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ABF т.е. FC=BC (2)

3. Нека т. N е среда на AF ,тогава CN и CM са медиани към хипотенузите в еднаквите правоъгълни тр-ци ABC и ACF
AM=CM=CN=AN

4. Доказахме ,че AMCN е ромб [tex]\Rightarrow[/tex] правата AN|| правата MC [tex]\Rightarrow[/tex] ADCF е трапец

5.[tex]\angle[/tex]FAD=[tex]\angle[/tex]FAC+[tex]\angle[/tex]CAD =36[tex]^\circ[/tex]+18[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]FAD= 54[tex]^\circ[/tex] (3)

6. От (1) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AFC=[tex]\angle[/tex]FAD , тогава трапецът ADCF е равнобедрен

7. В (6) доказахме ,че AD=FC (4)

8. От (2) и (4) следва ,че AD=BC

[Гост]

Трапец се изучава в 8 клас,а задачата е за 7 клас

[Евва]

Ето една корекция :
6. От (1) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AFC=[tex]\angle[/tex]FAD=[tex]\angle[/tex]FAL ,
тогава [tex]\triangle[/tex]ALF е равнобедрен AL=FL (4)

7. Вече доказано от колегите [tex]\angle[/tex]DCL=[tex]\angle[/tex]LCD=54[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]DLC е равнобедрен с бедра DL и CL ; DL=CL (5)

8. От (4) вадим (5) ,получаваме AD=FC , ползваме (2) и тогава AD=BC