да се намерят всички естествени числа а и b

[Mathemagician]

Да се намерят всички естествени числа a и b, за които [tex]9a^2[/tex] + 11ab + [tex]2b^2[/tex]=2010 беше на 1 състезание за 7-9 клас някакви идеи ??

[b1ck0]

Идея си нямам как се решават такива задачи по принцип. Аз разсъждавам така:
[tex]9{a}^{2}+11ab+2{b}^{2}=2010[/tex]
[tex]\left( a+b \right) \left( 9a+2b \right) =2010[/tex]

Сега трябва да представя 2010 като произведение:
[tex]2010 = 2.3.5.67[/tex] - това става лесно като се тегли една вертикална черта и т.н. ...

Дотук получихме:
[tex]\left( a+b \right) \left( 9a+2b \right) = 2.3.5.67[/tex]

От тук нататък има няколко варианта:
[tex]\begin{tabular}{|l}a+b=2.3.5\\9a+2b=67 \end{tabular}[/tex]
или
[tex]\begin{tabular}{|l}a+b=2.3\\9a+2b=67.5 \end{tabular}[/tex]
или
[tex]\begin{tabular}{|l}a+b=2\\9a+2b=67.5.3 \end{tabular}[/tex]

Решаваме трите системи и виждаме че само едната има за решение естествени числа, а именно:
[tex]\begin{tabular}{|l}a+b=2.3.5\\9a+2b=67 \end{tabular} \Right (a;b) = (1;29)[/tex]

[Mathemagician]

Ех как не се сетих, благодаря много, аз като го разложих на множители, не знаех какво повече да направя...thanks