Логическа задача

[sparko]

Имаме две пицарии с по 2010 пици във всяка.Двама учени А и Б се редуват(А е пръв),като всеки който е на ход изяжда по една или повече пици от 1 пицария или по една от двете пицарии.Изялият последната пица ще победи.Кой от двамата ще победи при разумна игра?

[prodanov]

1-ви случай) Ако изяждат по "една или повече от една пицария"
:Учен А влиза в пицария 1 и изяжда 2010(1 или повече) пици. Учен B влиза в пицария 2 и изяжда 2010 пици, включително последната. => B печели.

2-ри случай) Ако изяждат по една от всяка пицария.
:Нека пицарията е една и има 2*2010 пици, всеки изяжда две, първи е А.
[tex]\red A[/tex] изяжда 2 = [tex]401[/tex][tex]\red8[/tex]
B изяжда 2 = [tex]4016[/tex]
A изяжда 2 = [tex]4014[/tex]
B изяжда 2 = [tex]4012[/tex]
A изяжда 2 = [tex]4010[/tex]
[tex]\red B[/tex] изяжда 2 = [tex]400[/tex][tex]\red8[/tex]
A изяжда 2 = [tex]4006[/tex]
B изяжда 2 = [tex]4004[/tex]
A изяжда 2 = [tex]4002[/tex]
B изяжда 2 = [tex]4000[/tex]
[tex]\red A[/tex] изяжда 2 = [tex]399[/tex][tex]\red8[/tex]

т.е на всеки десет пици, те си разменят местата. В 4020 има 402 десетки => ще си разменят местата четен брой пъти => в цикъла B ще изяде -1вата и -2рата пица => А печели.

[allier]

Prodanov, всеки има право да си избира как да яде (от две или от една) и не е задължително през цялото време да яде по един и същи начин.

[prodanov]

Да, но тези два случая не доказват ли ,че и двамата печелят? Т.е няма как да се определи.

[allier]

Не, защото никой не ги задължава да играят както ти казваш. Всеки играе по най-добрия за него начин във всеки конкретен момент. Въпросът е може ли единият от двамата така да играе, че независимо от ходовете на другия, да победи със сигурност.

[prodanov]

Мислих я известно време и доказах следните основни правила:

[tex]A_1[/tex] = 0:n - тоя, който е на ход, печели
[tex]A_2[/tex] = 1:1 - тоя, който е на ход, печели
[tex]A_3[/tex] = 1:2 - тоя, който е на ход, губи
[tex]A_4[/tex] = 2:2 - тоя, който е на ход, печели
[tex]A_5[/tex] = 2:3 - тоя, който е на ход, печели
[tex]A_6[/tex] = 3:3 - тоя, който е на ход, губи
[tex]A_7[/tex] = 3:4 - тоя, който е на ход, печели
[tex]A_8[/tex] = 4:4 - тоя, който е на ход, печели
[tex]A_9[/tex] = 4:5 - тоя, който е на ход, губи
[tex]A_{10}[/tex] = 5:5 - тоя, който е на ход, печели
[tex]A_{11}[/tex] = 5:6 - тоя, който е на ход, печели
6:6 - губи
6:7 - печели
7:7 - печели
7:8 - губи
8:8 - печели
8:9 - печели
9:9 - губи
...

Доказателство:
:[tex]A_1[/tex]
логично водещият ще изяде всичко и ще спечели.

:[tex]A_2[/tex]
логично водещият да изяде по една от двете пици => печели.

:[tex]A_3[/tex]
този, който е на ход, има няколко възможности:
1) да изяде всичко от коя да е пицария => но от [tex]A_1[/tex] следва, че губи.
2) да изяде по една от двете => но от [tex]A_1[/tex] следва, че губи.
3) да изяде по една от втората пицария => но от [tex]A_2[/tex] следва, че губи.

:[tex]A_4[/tex]
този, който е на ход изяжда едн пица от коя да е пицария => от [tex]A_3[/tex] следва ,че печели.

:[tex]A_5[/tex]
Водещия изяжда 2 пици от втората пицария. от [tex]A_3[/tex] следва, че печели.

:[tex]A_6[/tex]
Има няколко възможности:
1) да изяде всичко от коя да е пицария => но от [tex]A_1[/tex] следва, че губи
2) да изяде по една от двете => но от [tex]A_4[/tex] следва ,че губи
3) да изяде една от коя да е пицария => от [tex]A_5[/tex] следва ,че губи.
4) да изяде две от коя да е пицария => тогава противника оставя две пици в другата пицария => губи по [tex]A_3[/tex].

:[tex]A_7[/tex]
Водещия изяжда една от втората => противника губи по [tex]A_6[/tex]

:[tex]A_8[/tex]
Водещия изяжда по една от двете => [tex]A_6[/tex] противника губи.

:[tex]A_9[/tex]
Няколко възможности
1) Изяжда всичко и губи
2) Изяжда всичко без една и пак губи
3) Изяжда всичко без две и пак губи
4) Изяжда всичко без три и пак губи
5) Изяжда от втората една и губи
6) Изяжда от двете по една и пак губи

:[tex]A_{10}[/tex]
Изяжда една от коя да е пицария и противника губи по [tex]A_9[/tex]

:[tex]A_{11}[/tex]
Изяжда една от двете и противника губи по [tex]A_9[/tex]

След това доказателство нека приемем ,че аз съм човекът Б.

нека [tex]n = 3k ; k \in (1; 669);[/tex]
нека [tex]2010>m > 3; m \notin n[/tex]

ако [tex]A[/tex] остави [tex]3[/tex] или по-малко пици вече знаем как ще го бия.
Ако [tex]A[/tex] остави [tex]n[/tex] пици в едната пицария и аз ще оставя [tex]n[/tex] пици в другата и ще го бия.
Ако [tex]A[/tex] остави [tex]m[/tex] пици едната пицария тогава:
ако [tex]m \bmod 3 = 1[/tex], ще оставя [tex]m+1[/tex] пици.
ако [tex]m \bmod 3 = 2[/tex], ще оставя [tex]m-1[/tex] пици.

И така аз, човека Б, винаги ще спечеля. (Ако е вярно).

[Gigibin]

Здр. току що видях задачката от ФБ. ем. интересно ми е накрая как оставяш m+1 Пици, при m налични..
мисля, че е грешка все пак не съм го прочел много обстойно, но все така, неможеш да правиш нови пици или да местиш

[prodanov]

m налични в едната пицария(там където яде), а аз оставям m+1 в другата пицария, май така беше. Задачата си спомням че беше яка, ама сега се чувствам яко тъп, че не мога да разбера собственото си решение.

Мисля че няма грешка, бях драснал програмка на компа, която винаги го биеше по това мойто решение.