Вписан четириъгълник

[inveidar]

Нека [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност четириъгълник и
[tex]\angle MAB=\angle MAD, \angle ABM=\angle CBM,[/tex]
[tex]\angle BCK=\angle DCK,\angle ADK=\angle CDK,[/tex]
[tex]M \in BL,K\in CL, M\in AN, K\in DN.[/tex]
Докажете, че [tex]MK \perp NL.[/tex]

[Гост]

За съжаление нямам достъп до компютър и пиша от телефон, но основните идеи са следните.

Случаят, в който двойка срещуположни страни са успоредни е тривиален.

Нека AD и BC се пресичат в точка X и AB и CD се пресичат в точка Y.

Точка M e център на вписаната окръжност на триъгълника ABX, а точка К е център на външно вписаната окръжност на триъгълника DCX.

Следователно, точките M и K лежат на ъглополовящата на ъгъл AXB.

Аналогично, точките L и N лежат на ъглополовящата на ъгъл AYD.

След като изразим всички ъгли на чертежа, чрез ъглите на четириъгълника А и В, оттам получаваме, че двете ъглополовящи, на ъглите AXB и AYD, са перпендикулярни.

[math10.com]

4-ugalnik.png (83.99 KiB) Прегледано 544 пъти

Нека [tex]\angle DAM= \angle BAM=\alpha ; \angle ABM= \angle CBM= \beta[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle BCK= \angle DCK= 90 ^\circ-\alpha ; \angle ADK= \angle CDK= 90 ^\circ-\beta[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AEB=180 ^\circ -2 \alpha-2 \beta ; \Rightarrow \angle AEM= \angle BEM=90 ^\circ - \alpha - \beta \Rightarrow \angle AME=90 ^\circ + \beta[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AMB= \angle LMN=180 ^\circ -\alpha - \beta ; \Rightarrow \angle LMA= \alpha+ \beta \Rightarrow LMK=90 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AFN= \angle DFN= \beta - \alpha \Rightarrow \angle ANF=180 ^\circ- \beta \Rightarrow \angle ANL= \beta \Rightarrow \angle MLN= \alpha \Rightarrow KM \bot NL[/tex]

Използвано е че K и M лежат на ъглополовящата на [tex]\angle AEB[/tex] , N и L лежат на ъглополовящата на [tex]\angle AFD[/tex] , както и че срещуположните ъгли във вписан четириъгълник в окръжност имат сбор [tex]180^\circ[/tex]