Остроъгълен триъгълник и три височини

[Гост]

В остроъгълния триъгълник $ABC$ с височини $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ отсечките $AA_{1}$ и $CC_{1}$ се пресичат в т.$N$. През нея е построена права, успоредна на $AC$, която пресича $AA_{1}$ и $AB$ съответно в точките $M$ и $P$. Да се докаже, че $MP = MN$.

Пробвах с окръжности около четириъгълници. Знам, че височините са ъглополовящи на ъглите в [tex]\triangle ABC[/tex]. Означих два от ъглите с [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] и почнах да изразявам всичко. Опитах се да докажа, че може да се опише окръжност около $MNA_{1}C_{1}$ (съответно като сборът им на двата противоположни ъгъла да е равен на 180), за да получа едни два важни ъгъла, но не успях. Иначе основната ми идея е да докажа, че [tex]\triangle PMC_{1}[/tex] и [tex]\triangle C_{1}MN[/tex] са равнобедрени триъгълници и от там да излезе директно, че $C_{1}M = MP = MN$.

[Гост]

В остроъгълния триъгълник $ABC$ с височини $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ отсечките [tex]AA_{1}[/tex] и $CC_{1}$ се пресичат в т.$N$. През нея е построена права, успоредна на $AC$, която пресича $AA_{1}$ и $AB$ съответно в точките $M$ и $P$. Да се докаже, че $MP = MN$.

Пробвах с окръжности около четириъгълници. Знам, че височините са ъглополовящи на ъглите в [tex]\triangle ABC[/tex]. Означих два от ъглите с [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] и почнах да изразявам всичко. Опитах се да докажа, че може да се опише окръжност около $MNA_{1}C_{1}$ (съответно като сборът им на двата противоположни ъгъла да е равен на 180), за да получа едни два важни ъгъла, но не успях. Иначе основната ми идея е да докажа, че [tex]\triangle PMC_{1}[/tex] и [tex]\triangle C_{1}MN[/tex] са равнобедрени триъгълници и от там да излезе директно, че $C_{1}M = MP = MN$.

Нещо не е наред в условието.На червеното според мен трябва да е [tex]A_1B_1[/tex]

[Гост]

В остроъгълния триъгълник $ABC$ с височини $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ отсечките [tex]AA_{1}[/tex] и $CC_{1}$ се пресичат в т.$N$. През нея е построена права, успоредна на $AC$, която пресича $AA_{1}$ и $AB$ съответно в точките $M$ и $P$. Да се докаже, че $MP = MN$.

Пробвах с окръжности около четириъгълници. Знам, че височините са ъглополовящи на ъглите в [tex]\triangle ABC[/tex]. Означих два от ъглите с [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] и почнах да изразявам всичко. Опитах се да докажа, че може да се опише окръжност около $MNA_{1}C_{1}$ (съответно като сборът им на двата противоположни ъгъла да е равен на 180), за да получа едни два важни ъгъла, но не успях. Иначе основната ми идея е да докажа, че [tex]\triangle PMC_{1}[/tex] и [tex]\triangle C_{1}MN[/tex] са равнобедрени триъгълници и от там да излезе директно, че $C_{1}M = MP = MN$.

Нещо не е наред в условието.На червеното според мен трябва да е [tex]A_1B_1[/tex]

Да, имате право. Да се чете $A_{1}B_{1}$ вместо $AA_{1}$

[Гост]

Остроъгълен триъгълник-page-001.jpg (232.5 KiB) Прегледано 719 пъти

[Гост]

Oще едно решение-page-001.jpg (156.18 KiB) Прегледано 693 пъти