Успоредник ABCD. CAD=30, CAB=15. Да се намери ABD.

[1089]

Успоредник ABCD. CAD=30, CAB=15. Да се намери ABD.

[1089]

е, не е чак толкова трудна...

[ganka simeonova]

1089, с материал за 7 и 8 клас предполагам искаш да се реши?

[1089]

7 клас

[ganka simeonova]

Това е предизвикателство:)
Добре, остави ни още време тогава:)
Щото аз я реших с тригонометрия , но да я реша само с познанията за 7 клас ще е по- гот:)

[ganka simeonova]

Не мирясах, докато не я направя
Да построим височините в успоредника от върха D. Нека това са DH и DF. Тогава е ясно, че [tex]\angle HDF=\angle BAD=45^\circ[/tex]
Тогава от правоъгълните триъгълници [tex]\Delta DHB; \Delta DFB=>HO=OF=DO=OB[/tex]
Нека [tex]P=AC\cap DF[/tex] От [tex]\Delta APD;\angle ADP=90^\circ; \angle DAP=30^\circ =>DP=1/2AP[/tex]
Аналогично от [tex]FPC=>PF=1/2PC[/tex] Събираме почленно тези равенства и получаваме:
[tex]DF=1/2AC=OC[/tex]. Но от [tex]FC=DF=>FC=OC=>\Delta OFC[/tex]-равнобедрен=>
[tex]\angle OFC=75^\circ =>\angle DFO=15^\circ =>\angle ODF=15^\circ =>\angle HDO=60^\circ =>[/tex]
[tex]\angle BDC=30^\circ =>\angle ABD=30^\circ[/tex]

[loving_math]

Страхотна задача и също толкова страхотно нейно решение.

[ptj]

Страхотна задача и също толкова страхотно нейно решение.

Има по-хитро решение:
1. Построявате успоредника и измервате търсените ъгли.
2. Показвате, че ако е даден ▲ABD с ъгли съответно 45°,30° и 115°. За който АО (т.[tex]O\in AD[/tex]) дели [tex]\angle DAB[/tex] на ъгли в съотношение 2:1. И т.C e симетрична на А спрямо О, то четириъгълника ABCD e успоредник.
3.Доказвате, че оригиналната задачата има единствено решение. (Единственост на построението).

П.П. От първия път на кандидатстудентския изпит може да не ви я признаят, но след контестация журито ще я признае. Проверил съм го.

Има и друг традиционен вариант с т. [tex]E\in AD[/tex] (D между А и Е) и [tex]\angle AEC=90^\circ[/tex]. EC e страна срещу ъгъл от 30° в правоъгълен триъгълник, EО е медиана в същия. Тогава ▲ОЕC e равностранен, а ▲AOE и ▲DEO са равнобедрени. [tex]\angle AEO=30^\circ[/tex]=>[tex]\angle ODE=75^\circ[/tex], но [tex]\angle DCE=45^\circ=\angle EDC[/tex]=>[tex]\angle CDB=30^\circ[/tex]

[allier]

Ptj, твоето "решение" е наистина хитро, но трудно осъществимо. Като си построиш триъгълника и после как ще докажеш, че се получава успоредник. Пак трябва да си решиш задачата ...

Браво на Ганка за построенията и за хубавото решение. И аз я мъчих тази задача, но каквито и построения да направя, все използвам окръжности, които са в 9 клас.

[ganka simeonova]

Има по-хитро решение:
1. Построявате успоредника и измервате търсените ъгли.

Какво значи "измерваме" получените ъгли?
С транспортир ли?
Дори и да построиш успоредника по двата ъгъла, които са дадени, ( и то само с помощта на линийка без деление и пергел), пак няма да си сигурен, че измереният ъгъл е точно 30 градуса
Би ли пояснил, как построяваш успоредника?

[ptj]

Не се майтапя. Преди много години една задача за кандидатстване в ПУ я реших точно по описания начин. Премерих ъгъла с транспортир. После показах, че търсения ъгъл е решение на задачата и накрая доказах единственост на построението ( за да съм точен тогава бяха две решения). Признаха ми я едва след като сегашния заместник декан на факултета МИ 3 пъти обяснява на комисията решението.

П.П. В корекцията на мнението си пуснах и друго традиционно за 7-ми клас решение.

[ganka simeonova]

Аз не разбрах каква е точка О и защо твърдиш, че ЕО е медиана?

[ptj]

Има по-хитро решение:
1. Построявате успоредника и измервате търсените ъгли.

Какво значи "измерваме" получените ъгли?
С транспортир ли?
Дори и да построиш успоредника по двата ъгъла, които са дадени, ( и то само с помощта на линийка без деление и пергел), пак няма да си сигурен, че измереният ъгъл е точно 30 градуса
Би ли пояснил, как построяваш успоредника?

Много просто :
1.)Взимам успоредник с ъгли 45°и 135°.
2.)Диагонали делящи ъглите на 30°и 15°, 30°и 105°.
3.) Показвам, че всички вътрешни триъгълници и изпълняват условието за сума от ъглите да е 180°
4.)Доказвам единственост на решението на задачата.

[ptj]

Аз не разбрах каква е точка О и защо твърдиш, че ЕО е медиана?

т.О е пресечената точка на диагоналите на успоредника.

[ganka simeonova]

2. Показвате, че ако е даден ▲ABD с ъгли съответно 45°,30° и 115°. За който АО (т.[tex]O\in AD[/tex]) дели [tex]\angle DAB[/tex] на ъгли в съотношение 2:1.

Щото, това не ми харесва,

[ptj]

2. Показвате, че ако е даден ▲ABD с ъгли съответно 45°,30° и 115°. За който АО (т.[tex]O\in AD[/tex]) дели [tex]\angle DAB[/tex] на ъгли в съотношение 2:1.

Щото, това не ми харесва,

Това го забрави, написах по-лесно решение. 3 поста преди този.

[ganka simeonova]

1.)Взимам успоредник с ъгли 45°и 135°.
2.)Диагонали делящи ъглите на 30°и 15°, 30°и 105°.
3.) Показвам, че всички вътрешни триъгълници и изпълняват условието за сума от ъглите да е 180°
4.)Доказвам единственост на решението на задачата.

Значи, това е последният ми коментар по задачата, която е хубава и за жалост я оспамихме.
Я си прочети поста пак!
Взимам...
Какво взимаш- домати, чушки..
Ужас!

[ganka simeonova]

2. Показвате, че ако е даден ▲ABD с ъгли съответно 45°,30° и 115°. За който АО (т.[tex]O\in AD[/tex]) дели [tex]\angle DAB[/tex] на ъгли в съотношение 2:1.

Щото, това не ми харесва,[/quote]
Това го забрави, написах по-лесно решение. 3 поста преди този.[/quote]
Три поста преди този, е моят пост!

[ptj]

Добре. Не "взимам", а "построявам ".

[ganka simeonova]

Добре. Не "взимам", а "построявам ".

Ако ми построиш с линийка и пергел успоредник с ъгли 45 и 135, така че диагоналът АС да го разделя на дадените в задачата ъгли от 30 и 15 градуса, аз лично ти свалям шапка.
Това драги, значи построявам.

[ptj]

...
Три поста преди този, е моят пост!

Брой по-внимателно.

[ptj]

Никъде не е казано, че построения се правят само с линийка и пергел. Този частен случай на построения е съвсем отделна тема.

[ganka simeonova]

Никъде не е казано, че построения се правят само с линийка и пергел. Този частен случай на построения е съвсем отделна тема.

ПО- добре не се занимавай с геометрия;)

[allier]

Аз го разбрах ptj какво има предвид, само че той не го е обяснил много добре.

Та, накратко, по някакъв начин разбираме колко е отговорът на задачата (дали с точен чертеж, или с тригонометрия, или с линия и пергел). След това се доказва, че не може да има повече от един верен отговор с допускане на противното. Например, може да се покаже, че въпросната точка е пресечна точка на две окръжности и т.н. И накрая само остава да се провери, че като се замести ъгъла със стойността, която сме намери, се получава оригиналната конфигурация в задачата.

Хитър начин за решаване, но практически неприложим, защото е далеч по-лесно да си решиш задачата нормално ...

И аз съм го използвал този метод едно време като бях ученик, но не по друга причина, ами да се заяждам с проверяващия след това ...

[ptj]

Никъде не е казано, че построения се правят само с линийка и пергел. Този частен случай на построения е съвсем отделна тема.

ПО- добре не се занимавай с геометрия;)

Не се излагай. Едно нетрадиционно решение не можеш схвана. Още ли си сигурна, че с линийка и пергел на мога да построя успоредник с ъгъл 45°, чийто диагонал го дели на 30° и 15°?