Диофантово

[Гост]

$4^{n}+2^{n}+5=m^{3}$
$n,m$ са естествени числа. Пробвах да гледам по дадени модули, но не ми се получава.

[ammornil]

$4^{n}+2^{n}+5=m^{3}$
$n,m$ са естествени числа. Пробвах да гледам по дадени модули, но не ми се получава.

[tex]\\ 2^{2n}+2^{n}+5=m^{3} \\ 2^{n}=u \Rightarrow u^{2}+u+(5-m^{3})=0 \\ \quad D=1^{2}-4\cdot{1}\cdot{}(5-m^{3})=4m^{3}-19 \ge{0} \Rightarrow m^{3}\ge{}\frac{19}{4} \\ \quad \quad u_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{4m^{3}-19}}{2} \\ 2^{n}=\frac{-1-\sqrt{4m^{3}-19}}{2} \cup 2^{n}=\frac{-1+\sqrt{4m^{3}-19}}{2} \\\boxed{(1)} 2^{n}=\frac{-1-\sqrt{4m^{3}-19}}{2} \quad \begin{cases} 2^{n}>0, \hspace{0.5em} \forall n\in\mathbb{N} \\ \frac{-1-\sqrt{4m^{3}-19}}{2}<0, \hspace{0.5em}\forall m\in\mathbb{N}, m^{3}\ge{}\frac{19}{4}\end{cases} \Rightarrow \nexists{(m, n)}\in\mathbb{N}^{2} \\ \boxed{(2)} 2^{n+1}=\sqrt{4m^{3}-19}-1 \\ n=log_{2}{(\sqrt{4m^{3}-19}-1)}-1[/tex]

Не ми изглежда да има решения в естествените числа, но може и да греша. Не можах да намеря решение сред първите 30000 цели стойности на [tex]m[/tex].

Скрит текст: покажи

[tex]\boxed{(2)} 2^{n+1}=\sqrt{4m^{3}-19}-1 \Leftrightarrow (2^{n+1}+1)^{2}=4m^{3}-19 \Leftrightarrow m^{3}=\frac{(2^{n+1}+1)^{2}+19}{4} \Leftrightarrow m=\sqrt[3]{\frac{(2^{n+1}+1)^{2}+19}{4}}[/tex]

[Гост]

$4^{n}+2^{n}+5=m^{3}$
$n,m$ са естествени числа. Пробвах да гледам по дадени модули, но не ми се получава.

[tex]\\ 2^{2n}+2^{n}+5=m^{3} \\ 2^{n}=u \Rightarrow u^{2}+u+(5-m^{3})=0 \\ \quad D=1^{2}-4\cdot{1}\cdot{}(5-m^{3})=4m^{3}-19 \ge{0} \Rightarrow m^{3}\ge{}\frac{19}{4} \\ \quad \quad u_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{4m^{3}-19}}{2} \\ 2^{n}=\frac{-1-\sqrt{4m^{3}-19}}{2} \cup 2^{n}=\frac{-1+\sqrt{4m^{3}-19}}{2} \\\boxed{(1)} 2^{n}=\frac{-1-\sqrt{4m^{3}-19}}{2} \quad \begin{cases} 2^{n}>0, \hspace{0.5em} \forall n\in\mathbb{N} \\ \frac{-1-\sqrt{4m^{3}-19}}{2}<0, \hspace{0.5em}\forall m\in\mathbb{N}, m^{3}\ge{}\frac{19}{4}\end{cases} \Rightarrow \nexists{(m, n)}\in\mathbb{N}^{2} \\ \boxed{(2)} 2^{n+1}=\sqrt{4m^{3}-19}-1 \\ n=log_{2}{(\sqrt{4m^{3}-19}-1)}-1[/tex]

Не ми изглежда да има решения в естествените числа, но може и да греша. Не можах да намеря решение сред първите 30000 цели стойности на [tex]m[/tex].

Скрит текст: покажи

[tex]\boxed{(2)} 2^{n+1}=\sqrt{4m^{3}-19}-1 \Leftrightarrow (2^{n+1}+1)^{2}=4m^{3}-19 \Leftrightarrow m^{3}=\frac{(2^{n+1}+1)^{2}+19}{4} \Leftrightarrow m=\sqrt[3]{\frac{(2^{n+1}+1)^{2}+19}{4}}[/tex]

Отговорът е, че няма решение. Иначе ми казаха, че се решавала лесно с модули. Търсех, търсех, но така и не намерих подходящ модул. Получих само, че $m$ е нечетно + разни други остатъци.

[pal702004]

Когато имаме куб, първата работа е да проверим по модули 7 и 9, защото кубовете дават остатъци $0,1,-1$ по тези модули.

При проверка по модул 7 се установява, че $n$ трябва да се дели на 3. Тоест, $n=3k$. Тогава $4^n+2^n+5 \equiv 0 \pmod 7$. В останалите случаи е $4 \pmod 7$

Но $4^{3k}+2^{3k}+5$ не може да е куб, защото е между два съседни куба:

$(4^k)^3<4^{3k}+2^{3k}+5<(4^k+1)^3$

[Гост]

Когато имаме куб, първата работа е да проверим по модули 7 и 9, защото кубовете дават остатъци $0,1,-1$ по тези модули.

При проверка по модул 7 се установява, че $n$ трябва да се дели на 3. Тоест, $n=3k$. Тогава $4^n+2^n+5 \equiv 0 \pmod 7$. В останалите случаи е $4 \pmod 7$

Но $4^{3k}+2^{3k}+5$ не може да е куб, защото е между два съседни куба:

$(4^k)^3<4^{3k}+2^{3k}+5<(4^k+1)^3$

Благодаря