Темичка за 8-ми клас

[ins-]

1. Решете уравнението за всички възможни стойности на параметрите [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]:
[tex]11x+a^2-2a+b^2+4b+|2x+a^2-2a+4b+b^2|+|-3x+2+a^2-2a-4b-b^2|+[/tex][tex]|-x-4b-b^2+a^2-2a|+18|x-2|=20[/tex]
2. Даден е квадрата [tex]ABCD[/tex] с пресечна точка на диагоналите [tex]E[/tex]. Нека [tex]l[/tex] е ъглополовящата на [tex]\angle{ACD}[/tex], а права, перпрндикулярна на [tex]l[/tex] пресича отсечките [tex]EC[/tex] и [tex]CD[/tex], съответно в точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex]. Докажете, че: [tex]DQ = 2PE[/tex].
3. Да се намерят всички прости числа [tex]p[/tex], за които числата [tex]2p^3+6p^2+2p+3[/tex], [tex]4p^3+10p^2+2p+9[/tex], [tex]5p^3+10p^2+2p+12[/tex], [tex]5p^3+8p^2+7p+5[/tex] също са прости.

[1089]

По-трудни не можа ли да намериш?

[Martin Nikovski]

Ако на олимпиада/състезание видя задача като първата, няма дори да се помъча да я реша... ще я оставя сам-самичка... ако някой иска, да си я решава... но да знае, че не е полезно за здравето...
Дори и решеието й да е на два реда...

[ins-]

http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php? ... roblem_112
Това е решението на задачата

[ins-]

Мога и по-трудни да намеря. Не съм се напъвал много
Имам идеи за по-лесна тема, която да е "решима", ако иска някой - мога да я пусна. Съставял съм и теми, които са средни като трудност между "лесна" и "сложна" тема.

[amsara]

Първата и мен ме изплаши само като я видях.
На втората се помъчих и достигнах до едно доказателство, което ми изглежда вярно, но при едно допълнение към условието. От него не става ясно,поне на мен, откъде е издигнат перпендикуляра към правата l. Приех, че е от точка B, а по-късно в решението ще обясня защо.
Построяваме през Е права m II L.Нека пресечните й точки с l и DC са съответно M и N.
m II l, E - среда на диагонала DB
=>ЕN - Средна отсечка в ▲ DBQ,=>DN=NQ
Тук е мястото да отбележа 2 неща. Именно заради средната отсечка допълних условието за перпендикуляр от точка В. А второто нещо е, че явно има полза от форума за мен.За свойствата на средната отсечка научих оттук.
Разглеждаме ▲NMC еднакъв на ▲EMC
1.DCM=ECM=ECD/2 (ъглополовяща)
2.NMC=EMC=90° (m II l)
3.MC-обща
=>MNC=MEC
=>ЕNPQ-равнобедрен трапец
=> NQ=EP=DN
=>DQ=DN+NQ=2EP

[ins-]

От B e. Грешката е моя. С третата май се е получило "излитане". Ако на някой му е интересно - ще пратя линк.

[1089]

Какво ще рече излитане?

[ins-]

Че задачата не е лека.

[allier]

Ето и от мен една задачка - тя е за 7ми клас, ама може и за 8ми.

Да се намерят всички естествени числа n, за които:

[tex]6400x^{16} + 7128x^{15} + 3245x^{14} + 2563x^{13}+1029x^{12}+876x^{11}-1056x^{10}+2910x^9-1022x^8-98x^7[/tex][tex]+234x^6-1022x^5-123x^4+678x^3-1000x^2+nx-n[/tex] е точен квадрат за поне едно просто число x по-малко от 10000.

Това е в кръга на шегата, де. Не се опитвайте да я решавате.

[ins-]

http://www-old.fizmat.vspu.ru/konkurs/ans18.htm
Задачите не са измислени от мен, а най-странното е, че някой се е опитвал да ги решава и е успял. Има много лоши хора...

[allier]

Вярно си е .. Аз щях да се опитам по подобен начин да я реша, но по по-малък модул (максимум 7). До 13 нямаше да ми изтраят нервите. Хубава задачка