Задача училищна олимпиада 8 клас

[Гост]

Тази задача е давана на подборен кръг в СМГ преди около 40 години.

Условие: Да се намерят всички реални корени на уравнението: $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=1$

[ammornil]

Тази задача е давана на подборен кръг в СМГ преди около 40 години.

Условие: Да се намерят всички реални корени на уравнението: $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=1$

$\\[24pt]\frac{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=1\\[12pt]\text{ДМ: } \quad \begin{array}{|l} x-1\ne{0} \\[6pt] x-2\ne{0} \\[6pt] x-3\ne{0} \\[6pt] x-4\ne{0} \end{array} \Rightarrow x \in (-\infty;1) \cup (1;2) \cup (2;3) \cup (3;4) \cup (4;+\infty) \\[12pt] \frac{(x^{2}+3x+3)(x^{2}+7x+12)}{(x^{2}-3x+3)(x^{2}-7x+12)}-1=0 \\[6pt] x^{4} +7x^{3} +12x^{2} +3x^{3} +21x^{2} +36x +3x^{2} +21x +36 -(x^{4}-7x^{3} +12x^{2} -3x^{3} +21x^{2} -36x +3x^{2} -21x +36) =0 \\[6pt] x^{4} +10x^{3} +36x^{2} +57x +36 -x^{4} +10x^{3} -36x^{2} +57x -36= 0 \\[6pt] 20x^{3} +114x= 0 \\[6pt] x(20x^{2} +114)=0 \\[6pt] x=0 \quad \cup \quad 20x^{2}=-114\\[6pt] x=0 \quad \cup \quad \nexists{x}\in{\mathbb{R}}\\[24pt]$Отговор: $x=0$

[tryagainD]

Решава се като умножиш на кръст и отвориш скобите. Важно е да се разгледат два случая: [tex]x = 0[/tex] и [tex]x \ne 0[/tex].
Когато [tex]x \ne 0[/tex] се получава, че [tex]x^{2 } + 5 = 0[/tex], което няма решение в реални числа.
Когато [tex]x = 0[/tex] в началното уравнение се получава вярно равенство.
Окончателен отговор: $x = 0$ единствено решение

[Гост]

СМГ-page-001.jpg (90.34 KiB) Прегледано 637 пъти

[ptj]

Ако не бяха възможни всичките стъкмистики със съкрашенията, задачата можеше да се реши чрез разглеждането графиката на функцията (стояща в числител и знаменател).

За нея щеше да се търси решение на [tex]f(x-2.5)=f(x+2.5)[/tex], т.е. кога часта отсичана от хоризонтална права от нейните клонове е равна на 5. Използвайки съответните нули, симетрията и интревалите на монотонност лесно се вижда че решението е само едно.