Диофантово уравнение

[Гост]

Да се докаже, че уравнението [tex](x-1)^{2 }[/tex] +[tex](x+1)^{2 }[/tex]=[tex]y^{2 }[/tex]+1 има безброй много решения в естествени числа.

[ammornil]

Да се докаже, че уравнението [tex](x-1)^{2 }[/tex] +[tex](x+1)^{2 }[/tex]=[tex]y^{2 }[/tex]+1 има безброй много решения в естествени числа.

$\\[12pt]x^{2}-2x+1+x^{2}+2x+1=y^{2}+1 \Leftrightarrow y^{2}-2x^{2}-1=0 \\[12pt] y^{2}=u\in\mathbb{N}, x^{2}=v\in\mathbb{N} \Rightarrow u=2v+1\\[6pt]$Едно решение е $u=9, v=4 \Rightarrow y=3, x=2\\[6pt]$Следващо решение е $u=289, v=144 \Rightarrow y=17, x=12\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

$y^{2}-2x^{2}=1$ е частен случай на Равенства на Пел (също познати като равенства на Ферма) $(a,b)\in\mathbb{R}, \begin{cases}a^{2}-Db^{2}=-1 \\ a^{2}-Db^{2}=1 \end{cases}$ За тях се знае, че ако $(x_{1}, y_{1})$ е първо целочислено решение, тогава $\begin{array}{|l} x_{n+1}=2y_{n}+3x_{n} \\ y_{n+1}=3y_{n}+4x_{n}\end{array}$ Откъдето се вижда, че решенията са безброй много.

$\\[12pt]$

Screenshot 2025-08-07 182234.png (34.97 KiB) Прегледано 548 пъти