Задачи с повишена трудност

[Гост]

Здравейте, математици. Имам притеснения за три задачи, за които нямам идея как да реша. Може ли някаква помощ или насока?

Задача 1: Нека М е най-голямото цяло число, за което [tex]М + 1 213[/tex] и [tex]М + 3 773[/tex] са точни квадрати. Търси се цифрата на единиците на числото М.

Задача 2: Сашо променил няколко знаци плюс на минус така, че числената стойност на получения израз станала отрицателна. Числената стойност на израза А = [tex]1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99[/tex] . Колко знаци е променил Сашо?

Задача 3: Ако а е отрицателно и рационално число, кой израз е равен на [tex]| a - 2 - |a-1||?[/tex]
[tex]a) 1-a[/tex]
b) 1
c) 3
[tex]d) 3 - 2a[/tex]

[peyo]

Задача 2: Сашо променил няколко знаци плюс на минус така, че числената стойност на получения израз станала отрицателна. Числената стойност на израза А = [tex]1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99[/tex] . Колко знаци е променил Сашо?

Веднага забелязваме, че ако променим всички значи на минус , то всичко ще стане отрицателно. И всичките значи са около 50.
Значи от 50 до колко най-малко?

Първо да сметнем колко е всичко. 1+99 = 100, 3+97=100 значи всичко по двойки е 100. А двойки има около 25. Значи общо 25*100=2500. И сега започваме отзад напред да променяме на минус докато се сумират до половината на 2500, което е 1250. И числото на което се спрем нека е $x$:
[tex]1250 = \frac{x+99}{2} \frac{99-x}{2}[/tex]

[tex]-5000 = x^2-99^2[/tex]
[tex]9800-5000 = x^2[/tex]
[tex]x^2 = \sqrt{4800}[/tex]
[tex]x= 69.2820323027551[/tex]

Което е най-близко до 69, значи (99-69)/2 = 15, значи най-малко около 15 плюса са станали минус.

[Гост]

Задача 1-page-001.jpg (134.99 KiB) Прегледано 263 пъти

[Гост]

Задача 2: Сашо променил няколко знаци плюс на минус така, че числената стойност на получения израз станала отрицателна. Числената стойност на израза А = [tex]1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99[/tex] . Колко знаци е променил Сашо?

Веднага забелязваме, че ако променим всички значи на минус , то всичко ще стане отрицателно. И всичките значи са около 50.
Значи от 50 до колко най-малко?

Първо да сметнем колко е всичко. 1+99 = 100, 3+97=100 значи всичко по двойки е 100. А двойки има около 25. Значи общо 25*100=2500. И сега започваме отзад напред да променяме на минус докато се сумират до половината на 2500, което е 1250. И числото на което се спрем нека е $x$:
[tex]1250 = \frac{x+99}{2} \frac{99-x}{2}[/tex]

[tex]-5000 = x^2-99^2[/tex]
[tex]9800-5000 = x^2[/tex]
[tex]x^2 = \sqrt{4800}[/tex]
[tex]x= 69.2820323027551[/tex]

Което е най-близко до 69, значи (99-69)/2 = 15, значи най-малко около 15 плюса са станали минус.

Нямам никаква идея откъде ви хрумна, че сборът на всеки две е 100 и как се обвързва с формата за съкратено умножение.