Интересни задачи

[Гост]

Привет, математици!
Изпращам условията на две задачи с молбата някой да ми даде насока, идея или ясната представа какво се прави при решаването им.

[ammornil]

$\boxed{\quad (8) \quad }\quad \because{} \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} +\dfrac{2}{x\cdot{y}}= 1, \quad x\in\mathbb{N}, y\in\mathbb{N} \quad \Rightarrow x+y=?\\[12pt] \underbrace{\dfrac{\overset{y}{\breve{1}}}{x} +\dfrac{\overset{x}{\breve{1}}}{y} +\dfrac{\overset{1}{\breve{2}}}{x\cdot{y}}= \overset{x\cdot{y}}{\breve{1}}}_{x\cdot{y}} \quad \Leftrightarrow \quad x +y +2= x\cdot{y} \quad \Leftrightarrow \\[6pt] \quad x\cdot{y} -x -y= 2 \quad \Leftrightarrow \quad x\cdot{y} -x -y +1= 2 +1 \quad \Leftrightarrow \\[6pt] \quad x\cdot{}(y-1) -1\cdot{}(y-1)= 3 \quad \Leftrightarrow \quad (x-1)\cdot{(y-1)}= 3\\[6pt]$ Понеже $x$ и $y$ са цели числа, то възможните комбинации за стойностите на скобите са $1$ и $3$ или $3$ и $1$. Това са два случая - нека ги разгледаме:$\\[6pt] (1):\quad x-1= 1 \Rightarrow x= 2, \quad y-1= 3 \Rightarrow y=4 \Rightarrow x +y= 6 \\[6pt] (2):\quad x-1= 3 \Rightarrow x= 4, \quad y-1= 1 \Rightarrow y=2 \Rightarrow x +y= 6 $ $$\text{Отговор: } \quad x +y= 6 $$

[ammornil]

Не съм сигурен, че мога да обясня другата задача със знания до 7-ми/8-ми клас (най-вече защото не съм сигурен какво е учено). Идеята ми e свързана с конгруенции$^{*}$, но не мисля че това се преподава в среден курс, още по-малко в редовната програма по математика. Ето все пак една идея... $\\[12pt] \boxed{\quad (7) \quad }\quad L_{17}= \text{НОК}(1, 2, 3, \cdots, 15, 16, 17)$. Понеже $17$ е самопросто числто, то $L_{17}=17\cdot{L_{16}}$, където $L_{16}= \text{НОК}(1, 2, 3, \cdots, 14, 15, 16)$. $\\[6pt] S= \dfrac{1}{1} +\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} +\cdots{} +\dfrac{1}{15} +\dfrac{1}{16} +\dfrac{1}{17} = \dfrac{\dfrac{L_{17}}{1} +\dfrac{L_{17}}{2} +\dfrac{L_{17}}{3} +\cdots{} +\dfrac{L_{17}}{15} +\dfrac{L_{17}}{16} +\dfrac{L_{17}}{17}}{L_{17}} \\[6pt] \Rightarrow a=\dfrac{L_{17}}{1} +\dfrac{L_{17}}{2} +\dfrac{L_{17}}{3} +\cdots{} +\dfrac{L_{17}}{15} +\dfrac{L_{17}}{16} +\dfrac{L_{17}}{17}= \dfrac{17\cdot{L_{16}}}{1} +\dfrac{17\cdot{L_{16}}}{2} +\dfrac{17\cdot{L_{16}}}{3} +\cdots{} +\dfrac{17\cdot{L_{16}}}{15} +\dfrac{17\cdot{L_{16}}}{16} +\dfrac{\cancel{17}\cdot{L_{16}}}{\cancel{17}} \\[6pt]$ Всички събираеми без последното се делят точно на $17$, следователно остатъкът от делението на $a$ със $17$ е същият като остатъкът на делението на $L_{16}$ със $17$. $\\[6pt] L_{16}= \red{\underbrace{2^{4}}_{16} \cdot{\underbrace{3^{2}}_{9}} \cdot{5} \cdot{7} \cdot{11} \cdot{13}} \\[6pt]$Оттук следва редица конгруенции, които може да не са учени $ \\[6pt] \red{16\cdot{9}}= 144 \equiv \green{8} (\mod{17}) \\[6pt] \green{8}\cdot{\red{5}}= 40 \equiv \green{6} (\mod{17}) \\[6pt] \green{6}\cdot{\red{7}}= 42 \equiv \green{8} (\mod{17}) \\[6pt] \green{8} \cdot{\red{11}}=88 \equiv \green{3} (\mod{17}) \\[6pt] \green{3} \cdot{\red{13}}=39 \equiv \boxed{\green{5}} (\mod{17})$ $$ \text{Отговор: } 5 $$ $ \\[24pt]\quad^{*}$(благодарение на няколко литератори от началото на 20-ти век, в българската математическа терминология конгруенциите са известни като сравнения)

[Гост]

Последното с 16, 9 и 8 се се изгубих!

[ammornil]

Последното с 16, 9 и 8 се се изгубих!

Затова започнах решението с пояснение, че не знам как се решава задачата със знания за 7ми/8ми клас. Това с червеното и зеленото е верижното правило за остатъка от делението спрямо кой да е делител на сложно съставно число чрез последователно определяне на остатъците от делението на поредните множители и предходния остатък. Съжалявам, че не мога да Ви бъда по-полезен в момента. Може би някой от преподавателите по математика ще даде по-правилно (за възрастовата група) решение. Моля имайте търпение!

[grav]

Последното с 16, 9 и 8 се се изгубих!

Ами сметрни го директно. Не отнема много време.

[tex]2^{4}\cdot3^{2}\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13=720720[/tex]

Намираш остатъка като делиш [tex]720720[/tex] на [tex]17[/tex].

[ammornil]

Това е работеща идея. до колко е бързо е въпрос на техника на умножение и деление (ако нямаме калкулатор)$\\[12pt] \begin{array}{r} &7&2&0&7&2&0&\div&17=42395 \\ -&6&8 \\ \hline &&4&0 \\ -&&3&4\\ \hline &&&6&7 \\ -&&&5&1 \\ \hline &&&1&6&2 \\ -&&&1&5&3 \\ \hline &&&&&9&0 \\- &&&&&8&5 \\ \hline &&&&&&\colorbox{cyan}{\Large{5}} \end{array}$