Триъгълник с ъгъл 60 градуса

[Гост]

Даден е остроъгълен [tex]\triangle[/tex]ABC с ортоцентър H , център на описаната окръжност O и център на вписаната окръжност I. Да се докаже, че OI=IH[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABC има ъгъл 60[tex]^\circ[/tex].

[Darina73]

Даден е остроъгълен [tex]\triangle[/tex]ABC с [tex]\angle[/tex]ACB=60[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\angle[/tex]BAC=2[tex]\alpha[/tex] ,BC=a .
Ще докажем ,че OI =HI
Да построим височините [tex]AH_{1 } ,B H_{2 }[/tex] и C[tex]H_{3 }[/tex].
Нека вписаната окр. се допира до страните AB ,BC ,AC съответно в т.N, т.M , т.T и т.F е среда на BC .
_____________________________________________________________________________________________
Точка I лежи на ъглополовящата [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACI =[tex]\angle[/tex]BCI =30[tex]^\circ[/tex] (1)
[tex]\triangle H_{2 }[/tex]BC е правоъгълен с ъгъл 60[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle H_{2 }[/tex]BC=30[tex]^\circ[/tex] и тогава C[tex]H_{2 } = \frac{BC}{2}= \frac{a}{2}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]A[tex]H_{3 }[/tex]C - правоъгълен и намираме [tex]\angle[/tex]AC[tex]H_{3 }[/tex]= 90[tex]^\circ-2 \alpha[/tex] (3)
Oт (1) следва [tex]\angle[/tex]HCI =30[tex]^\circ-(90 ^\circ -2 \alpha)[/tex] ; [tex]\angle[/tex]HCI=[tex]2\alpha-60 ^\circ[/tex] (4)
Спрямо описаната окръжност централният [tex]\angle[/tex]BOC = 2.вписания [tex]\angle[/tex]BAC т.е. [tex]\angle[/tex]BOC=4[tex]\alpha[/tex]
Медианата OF (към основата ВС) се явява височина и ъглополовяща в равноб.[tex]\triangle[/tex]OBC ,cледователно [tex]\angle[/tex]COF=[tex]\frac{ \angle BOC}{2}=2 \alpha[/tex]
[tex]\triangle[/tex]OFC е правоъгълен и намираме [tex]\angle[/tex]OCF=90[tex]^\circ-2 \alpha[/tex] (5)
По 2 признак [tex]\triangle H_{2 }[/tex]HC[tex]\cong \triangle[/tex]FOC [tex]\Rightarrow[/tex] HC=OC (6)
[tex]\angle[/tex]OCI =[tex]\angle[/tex]BCI-[tex]\angle[/tex]OCB (виж (1) и (5)) =30[tex]^\circ -(90 ^\circ-2 \alpha)[/tex] ; [tex]\angle[/tex]OCI =[tex]2\alpha-60 ^\circ[/tex] (7)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]HIC и [tex]\triangle[/tex]OIC
1.CI=CI
2. HC=OC (от (6))
3. [tex]\angle[/tex]HCI =[tex]\angle[/tex]OCI (виж (4) и (7))
Следователно [tex]\triangle[/tex]HIC[tex]\cong \triangle[/tex]OIC по 1 признак
Съответните им страни са равни т.е. HI=OI

[S.B.]

Според условието,би трябвало да има две доказателства:
1) Ако съществува в триъгълника ъгъл от 60° то е изпълнено,че OI=IH
2) Ако е изпълнено ,че OI=IH ,то в триъгълника има ъгъл равен на 60°
Т.е. в задачата както е написана трябва да се докаже необходимо и достатъчно условие.

[Darina73]

Напълно съм съгласна с S.B. относно нейното 2) доказателство .

Скрит текст: покажи

Нямам достатъчно свободно време ,защото
организираме погребението на вуйчи ми (набор 44)
Толкова е горчиво в душата ми .

[Гост]

Едно алтернативно доказателство на 1) е да се забележи, че ако [tex]\angle[/tex]ACB=60[tex]^\circ[/tex], A, B, O, I, H лежат на 1 окръжност. Ъглите [tex]\angle[/tex]HAI и [tex]\angle[/tex]IAO се пресмятат директно и се вижда, че са равни именно когато [tex]\angle[/tex]ACB=60[tex]^\circ[/tex], с което сме готови, понеже хордите OI и IH съотвестсват на дъги с равни мерки.